Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Додавання гармонічних коливань однакового напрямку і однакової частоти. Биття




Читайте также:
  1. Аксіоматичне означення додавання цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії. Таблиці і закони додавання.
  2. Амплітуда і фаза вимушених коливань (механічних і електромагнетних). Резонанс. Резонансні криві. Парамет-ричний резонанс
  3. Амплітуда і фаза вимушених коливань (механічних і електромагнітних). Резонанс. Резонансні криві. Параметричний резонанс
  4. Визначення суми на множині цілих невід’ємних чисел, її існування та єдиність. Операція додавання та її основні властивості (закони).
  5. Відношення еквівалентності та порядку, їх властивості. Впорядковані множини. Зв'язок відношення еквівалентності з розбиттям множини на класи, що попарно не перетинаються.
  6. Гармонічні коливання. Диференціальне рівняння гармонічних коливань та його розв’язок. Амплітуда, фаза, частота, період коливань
  7. Де частота власних коливань математичного маятника
  8. Диференціальне рівняння вимушених коливань і його розв’язування
  9. Диференціальне рівняння вільних затухаючих коливань і його розв’язування
  10. Диференціальне рівняння вільних згасаючих коливань і його розв’язування

Розглянемо додавання двох гармонічних коливань однакового напрямку з однаковими періодами, які відбуваються з деякою різницею фаз і мають різні амплітуди. Нехай ці коливання відбуваються в напрямі осі x. Запишемо рівняння цих коливань

 

(1)

 

Циклічні частоти ω в обох випадках однакові. Зміщення x від положення рівноваги, при участі тіла одночасно в двох коливаннях, виражається алгебраїчною сумою

 

або

(2)

 

Для знаходження результуючої амплітуди А і початкової фази результуючого коливання φ використаємо векторну діаграму (рис.1).

 

Оскільки вектори і обертаються з однаковою циклічною частотою ω, то різниця фаз між ними залишається постійною. Результуючу амплітуду А в цьому випадку визначають за теоремою косинусів, тобто

 

(3)

 

або з урахуванням того, що одержуємо:

Рис.1

 

(4)

і

(5)

 

 

Початкова фаза результуючого коливання φ дорівнює

 

(6)

 

Значення амплітуди (5) і початкової фази (6) підставимо в рівняння (2), одержимо

 

(7)

 

Як видно з (7), сумарне коливання має такий же напрям і відбувається з тією ж циклічною частотою ω. Амплітуда результуючого коливання залежить від різниці фаз обох коливань.

Якщо де ( ), то ;

Якщо де ( ), то .

Оскільки може набувати значень від –1 до +1, то межі зміни амплітуди будуть такими:

 

(8)

 

Окремим випадком можна розглядати додавання коливань з близькими циклічними частотами і ( ). Періодична зміна амплітуди з часом, яка відбувається в цьому випадку, називається биттям. Нехай додаються два гармонічних коливання з амплітудами і близькими циклічними частотами і . Початкові фази таких гармонічних коливань можна вибрати однаковими, тому

 

(9)

 

(10)

 

Різниця фаз двох коливань (9) і (10) буде дорівнювати .

Скористаємось теоремою косинусів для визначення амплітуди биття

 

(11)

Замінимо вираз в квадратних дужках у відповідності з формулою

(12)

 

Вираз (12) підставимо в (11)

 

. (13)

 

або

(14)

 

Фаза результуючого коливання для довільного проміжку часу знаходиться із графіка (рис.2)



 

(15)

 

Результуюче коливання биття матиме вигляд:

 

(16)

 

де – амплітуда биття.

Рис.2

Графік залежності (16) має вигляд (рис 3):

 

Рис. 3

Періодичність зміни амплітуди від максимуму до максимуму дає час, який називається періодом биття

 

, звідки (17)

 

Періодичність зміни амплітуди високочастотних коливань визначається за формулою

 

, звідки (18)

 

Оскільки циклічні частоти досить близькі, то наближено

 

(19)

 

За час відбувається n гармонічних високочастотних коливань, тому

 

(20)

 

З урахуванням співвідношень (17) і (19) вираз (20) перепишеться

 

 

(21)

звідки а для частот

 

В процесі биття частоти генераторів визначаються в таких межах:

 

(22)

 

Биття використовується для градуювання шкал невідомих генераторів в процесі їх виготовлення. Додавання однаково направлених коливань забезпечує амплітудну модуляцію в радіотехніці, а також проміжну частоту супергетеродинного прийому радіо- і телепередач.

 



 


Дата добавления: 2014-12-03; просмотров: 287; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2020 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты