які використовуються у проектному аналізі

У фінансовій математиці існує два способи нарахування відсотків:

- декурсивний спосіб нарахування відсотків – відсотки нараховуються в кінці кожного інтервалу нарахування;

- антисипативний спосіб (попередній) нарахування відсотків – відсотки нараховуються на початку кожного інтервалу нарахування.

Простий відсоток – це нарахування відсотку лише на початково інвестовану суму. Через n років теперішня вартість грошей за простим процентом буде:

FV = PV(1+і n),

де FV – майбутня вартість, PV – теперішня вартість, і – відсоток, n – кількість часових періодів.

При нарахуванні складних відсотків їх нараховують не тільки на основну суму, а й на суму, що включає як основну суму, так і нараховані раніше відсотки:

FV = PV(1+і)ⁿ,

Складний відсоток може нараховуватися частіше, ніж один раз на рік, наприклад, раз в півроку, квартал, місяць тощо. Відсотки, що нараховуються з певною періодичністю, називаються дискретними. В цьому випадку нарощена сума буде нараховуватись за наступною формулою:

де m – періодичність нарахування відсотку протягом року.

Безперервне нарахування відсотків. При безперервному нарахуванні інтервал нарахування наближається до 0, а періодичність нарахування до нескінченості (m→∞). Воно нерідко використовується у світовій практиці. Це нескінчений компаундинг.

де е=2,71828

Номінальна та ефективна ставка відсотка. Розрізняють такі поняття як процентна ставка, яка встановлюється (вказується), так звана номінальна процентна ставка і процентна ставка, яка дійсно отримана (або виплачена), так звана, ефективна або еквівалентна ставка. Ефективна процентна ставка може бути виражена наступним чином:

де m – кількість періодів нарахування процентів за базовий часовий період (рік).

Отже, при фіксованій номінальній ставці є необхідним зазначення частоти нарахувань, оскільки зі зростанням кількості нарахувань відсотків протягом року абсолютний річний доход або ефективна ставка зростає.

Визначення періоду нарахування відсотків. Для визначення періоду часу, який необхідний для збільшення суми PV до значення суми FV при нарахуванні відсотку і використовують наступну формулу (для простого відсотку):

де t – період часу, за який теперішня сума грошей збільшиться до бажаної майбутньої суми грошей.

Для спрощення розрахунків в умовах оцінки майбутньої вартості, коли під рукою немає фінансового калькулятора, можна використати правило 72, згідно цього правила кількість часових періодів, що є необхідною для подвоєння певної суми грошей, приблизно дорівнює:

Теперішня вартість – грошова вартість майбутніх доходів на теперішній час. Розрахунки теперішньої вартості здійснюють за допомогою процесу дисконтування. Дисконтування – це зведення економічних показників різних років до порівняного в часі вигляді (як правило до теперішнього часу):

де FV - майбутня вартість грошей або сума грошей на рахунку через п часових періодів;

PV — поточна вартість грошей або початкова сума грошей на рахунку;

i - ставка процента;

п - кількість часових періодів.

Вираз носить назву коефіцієнта (фактора) дисконтування або коефіцієнта поточної вартості і показує поточну вартість однієї грошової одиниці, яку очікують отримати через п часових періодів при ставці дисконту і. Значення фактора теперішньої вартості представляється в додатках .

Приклад: Скільки необхідно розмістити на рахунку сьогодні, щоб через 2 роки при ставці 10% річних, які нараховуються один раз на рік, отримати 100 грн.

Майбутня вартість – це сума інвестованих на теперішній момент коштів, на яку вони мають перетворитися через певний проміжок часу з урахуванням певної ставки процента. Компаундування – це процес визначення майбутньої вартості поточної (нинішньої) суми грошей:

Вираз (1+і)ⁿ носить назву коефіцієнта (фактора) майбутньої вартості і показує вартість, якої досягне одна грошова одиниця через n часових періодів при ставці процента і. Значення фактора майбутньої вартості представляється в додатках .

Приклад: Припустимо, що на депозитному рахунку на початку року було розміщено 100 грн. Яка сума буде на рахунку через 2 роки, якщо процентна ставка складає 10%, які нараховуються один раз на рік наприкінці року ?

Рентні платежі та їх оцінка. Серія, або один з серії, рівних за величиною платежів, які здійснюються через рівні проміжки часу, носить назву ренти або ануїтету.

Розрізняють звичайну ренту, якщо виплати здійснюються в кінці кожного періоду і приведеною (вексельної), якщо виплати здійснюються на початку кожного періоду. При цьому кількість платежів однакова, а ось періодів нарахування відсотків на один більше. Прикладом є рахунок в банку. Наведені тут формули використовуються для звичайної ренти. Якщо виникає необхідність використання вексельної ренти, її можна визначити з використанням формул для звичайної ренти шляхом їх множення на (1+і)^п .

Під майбутньою вартістю ренти розуміють процес сумарного накопичення основної суми і процентів за рентою протягом зазначеної кількості часових періодів при певній ставці процента. Для позначення цього періоду також вживають термін накопичення або накопичення за період.

,

де FVA₀ – майбутня вартість ренти;

А₀ – звичайна рента (ануїтет).

Вираз носить назву коефіцієнта (фактора) майбутньої вартості ренти і показує сумарне накопичення основної суми і процентів за рентою, платежі за якою здійснюються наприкінці часового періоду і дорівнюють одній грошовій одиниці через n часових періодів при ставці процента і. Значення фактора майбутньої вартості ренти представляється в додатках .

Приклад: наприкінці кожного року на рахунок вноситься сума в 100 грн. Яку суму буде накопичено на рахунку за 2 роки при ставці 10 % річних, які нараховуються щорічно?

Під забезпеченням фонду або фондозабезпеченням розуміють процес визначення платежів за рентою, які здійснюються для накопичення певної суми грошей за встановлену кількість часових періодів, включаючи накопичення процентів за певною ставкою.

Вираз носить назву коефіцієнта (фактора) фондозабезпечення і показує величину платежів за рентою, які здійснюються наприкінці часового періоду і є необхідними для накопичення одної грошової одиниці за n часових періодів при ставці процента і. Значення фактора фондозабезпечення представляється в додатках .

Приклад: на рахунку за 2 роки необхідно накопичити 100 грн. Яким має бути розмір щорічного внеску при ставці 10 %, якщо проценти нараховуються щорічно, а внески робляться в кінці року?

Під поточною вартістю ренти розуміють процес визначення поточної вартості ренти, яку очікується отримувати (сплачувати) в майбутньому протягом встановленої кількості часових періодів.

де РVA₀ – поточна вартість ренти.

Вираз носить назву фактора поточної вартості ренти і показує поточну вартість ренти, що надходитиме в майбутньому, платежі за якою здійснюються наприкінці часового періоду і дорівнюють одній грошовій одиниці через n часових періодів при ставці процента і. Значення фактора поточної вартості ренти представляється в додатках

Приклад: щорічно, наприкінці наступних 2 років, планується отримувати 100 грн. при ставці 10 % річних, які нараховуються щорічно. Якою буде поточна вартість зазначеної суми?

Під погашенням позики або амортизацією позики розуміють процес визначення величини платежів за рентою, через яку буде оплачено проценти і забезпечено повне повернення встановленої суми протягом певної кількості часових періодів. Величина платежу за звичайною рентою складає:

Функція погашення позики є зворотною до функції майбутньої вартості ренти.

Приклад: необхідно оплатити майно, вартість якого складає 100 грн. протягом 2 років. Визначте величину щорічного внеску при ставці 10 % річних за умов, що проценти нараховуються щорічно, а платежі здійснюються наприкінці року.