Где n - число измерений.

Упомянутая выше теория погрешностей дает возможность найти величину случайной погрешности Dх_сл, т.е. расхождение между х_о и <x>. При этом исходят из следующих соображений.

Пусть a характеризует вероятность того, что истинное значение х_о измеряемой величины отличается от <x> на величину, не большую Dх_сл, т.е. вероятность того, что истинное значение попадет в интервал от <x> - Dx_сл до <x>+Dx_сл (рис.1.1). Например, если a = 0,95, то это означает, что при многократных повторениях опыта ошибки отдельных измерений в 95 случаях из 100 не превысят значения Dх_сл. Вероятность a называется доверительной вероятностью или надежностью, а интервал значе­ний (<x> ± Dx_сл ) - доверительным интервалом. Как видно, Dx_сл - это полуширина доверительного интервала. Ее и принимают за абсолютную случайную погрешность. Полуширину доверительного интервала принимают за абсолютную погрешность и в других случаях, например, при косвенных измерениях.

Задача, очевидно, состоит в том, чтобы отыскать Dx_сл при наперед заданном значении a. Решению этого вопроса помогает существующая между Dx_сл и a математическая связь. Качествен­но эта связь ясна: чем с большей надежностью мы хотим указать результат данных измерений, тем больше должен быть дове­ри­тель­ный интервал.

В теории погрешностей в качестве единицы ширины до­ве­рительного интервала вы­бра­на так называемая средняя ква­дра­тичная погрешность ре­зуль­тата измерений

S = . (1.3)

Здесь - среднее для измеренных n значений (i =1, …, n);

- отклонение i - го наблюдения от среднего значения, n - число измерений.

Учитывая сказанное, было предложено в случае небольшого числа измерений (именно так обстоит дело в учебных лабораториях) вычислять полуширину доверительного интервала по формуле:

Dх_сл , (1. 4)

где t_a,n - некоторое, зависящее от a и n число, называемое коэффициентом Стьюдента. Зависимость t_a,n от n понятна: чем больше n, тем меньше отличается от истинного значения, и тем меньше будет доверительный интервал, точнее результат измерения, а значит меньше t_a,n.

3. Систематическими называются погрешности, которые сохраняют свою величину и знак во время эксперимента. Систематические ошибки вызываются разными причинами, односторонне влияющими на результат измерений:

· ограниченной точностью приборов (измерительных инструментов) – приборные (инструментальные погрешности);

· неправильной настройкой (неравные плечи весов, стрелка не установлена на ноль и т.д.);

· в расчетных формулах не учтено влияние некоторых второстепенных факторов (например, при взвешивании не учитывается сила Архимеда, при измерении электросопротивления не учитывается сопротивление проводящих проводов);

· округлениями, которые производятся при измерениях и вычислениях.

В большем числе случаев систематические погрешности могут быть изучены и скомпенсированы путем внесения поправок в результаты измерений. Если же сделать этого нельзя (или сложно), необходимо правильно учесть вклад систематической ошибки в общую ошибку измерений.

При выполнении лабораторных работ приходится оценивать, как правило, следующие систематические ошибки.

3.1. Приборная (инструментальная) погрешность. Погрешность показания прибора (например, связанная с неправильностью разбивки шкалы амперметра, линейки...) является вполне определенной. При обработке результатов измерений этот вид погрешностей задается в виде так называемой предельной погрешности прибора (коротко - приборной погрешности), указывающей, какова максимально возможная погрешность при использовании данного прибора. При этом для одних приборов указывается предельная абсолютная погрешность Dх_пр, для других (электроизмерительных, части оптических) предельная относительная погрешность (класс точности прибора k).

Классом точности прибора называется отношение предельной абсолютной погрешности к максимальному значению измеряемой прибором величины

100 . (1.5)

Классов точности семь: 0,02; 0.05; 0,1; 0.5; 1; 2,5; 4. Это число указано на шкале прибора. Зная класс точности и пределы измерения прибора, можно рассчитать его предельную погрешность

. (1.6)

Приборная погрешность других приборов равна точности измерительного прибора, под которой понимают ту наименьшую величину, которую можно надежно определить с помощью данного прибора. Точность прибора зависит от цены наименьшего деления его шкалы и указывается на самом приборе или в его паспорте. Если этих данных нет, то пользуются следующими правилами: если прибор снабжен нониусом (например, штангенциркуль), то его точность (и приборная погрешность) равна цене наименьшего деления Dх_пр =D . При этом D = l / m, где l - цена наименьшего деления основной шкалы прибора, m - число делений нониуса. При отсутствии нониуса (линейка, термометр,...) точность прибора равна половине наименьшего деления шкалы прибора .

Приборная погрешность Dх_пр представляет собой наибольшую погрешность, даваемую прибором. Действительная же погрешность прибора Dх_пр^ст (стандартное отклонение) носит случайный характер и меньше Dх_пр. Строгих формул для перевода Dх_пр в Dх_пр^ст нет, чаще всего пользуются выражением

, (1.7)

где - коэффициент Стьюдента при n = ¥.

Примечание: для электроизмерительных приборов Dх_пр не зависит от значения измеряемой величины х_изм. Относительная же погрешность измерения, т.е. Dх_пр / х_изм, зависит от х_изм : чем больше х_{изм ,} тем меньше относительная погрешность. Поэтому при измерениях рекомендуется выбирать такие пределы измерения, чтобы отсчеты на них производились бы по второй половине шкалы прибора.

3.2. Погрешность округления при измерении. При измерениях показания приборов часто лежат между делениями шкалы. Отсчет “на глаз” долей деления затруднительны. Поэтому показания приборов, как правило, округляются - возникает погрешность округления при измерениях.

Интервал округления может быть различным. Чаще всего это либо цена наименьшего деления шкалы - D, либо половина цены деления. Очевидно, максимальная погрешность округления равна половине интервала округления, т.е. величине D/2. Действительная же погрешность меньше, и при доверительной вероятностиa за погрешность округления принимают величину

. (1.8)

3.3. Погрешность округления при вычислениях.Этот вид погрешности приходится учитывать только при косвенных измерениях. По этой причине сведения по данной погрешности в следующем разделе.

4. Полная погрешность. Как уже отмечалось, в реальных условиях присутствуют как случайные, так и систематические погрешности. В теории вероятности показывается, что погрешность, обусловленная несколькими независимыми причинами, определяется квадратичным суммированием, т. е. полная абсолютная погрешность прямого измерения

. (1.9)

Относительная погрешность

. (1.10)

При этом доверительная вероятность a выбирается одинаковой для всех видов погрешностей.

Некоторые из слагаемых под знаком корня могут быть настолько малыми по сравнению с другими, что ими можно пренебречь (малыми считаются ошибки, которые не превышают 30 % от максимальной).

В заключение отметим, что количество необходимых измерений определяется соотношением приборной и случайной погрешностей. Если при повторных измерениях получается одно и то же значение, то это означает, что случайная погрешность в данном методе измерений значительно меньше приборной и большее число измерений не изменит общей ошибки.

При значительной случайной погрешности (при повторных измерениях получаются отличные друг от друга значения) число измерений лучше выбрать таким, чтобы случайная погрешность среднего арифметического была меньше приборной, или, по крайней мере, одного с ней порядка.