Момент инерции тела относительно оси

Пусть имеется твердое тело. Выберем некоторую прямую ОО (рис.3.1), которую будем называть осью (прямая ОО может быть и вне тела). Разобьем тело на эле­мен­тар­ные участки (материальные точки) масс­са­ми Δm , Δm ,...,Δm , находящиеся от оси на расстоянии соответственно r , r ,... r .

Моментом инерции материальной точки относительно оси OO называется произведение массы материальной точки на квадрат ее расстояния до этой оси:

DI_i = Dm_i r_i². (3.1)

Моментом инерции (МИ) тела относительно оси ОО называется сумма произведений масс элементарных участков тела на квадрат их расстояния до оси:

I = .(3.2)

Как видно, момент инерции тела есть величина аддитивная - момент инерции всего тел относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции отдельных его частей относительно той же оси.

В данном случае

.

Измеряется момент инерции в кг·м .

Так как

D m_i = r DV_i , (3.3)

где ρ - плотность вещества; DV_i - объем i - го участка, то или, переходя к бесконечно малым элементам,

I = .(3.4)

Формулу (3.4) удобно использовать для вычисления МИ однородных тел правильной формы относительно оси симметрии, проходящей через центр масс тела. Например, для МИ цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс параллельно образующей, эта формула дает

,

где m - масса; R - радиус цилиндра.

Большую помощь при вычислениях МИ тел относительно некоторых осей оказываеттеорема Штейнера: МИ тела I относительно любой оси равен сумме МИ этого тела I_с относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния d между указанными осями:

I = I_с+ m d².(3.5)