Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Рівняння дотичної та нормалі.




Читайте также:
  1. Використання рівняння Шредінгера до атома водню. Хвильова функція. Квантові числа
  2. Гармонічні коливання. Диференціальне рівняння гармонічних коливань та його розв’язок. Амплітуда, фаза, частота, період коливань
  3. Десяткові дроби, їх порівняння, операції над ними. Перетворення десяткових дробів у звичайні та звичайних у десяткові.
  4. Диференціальне рівняння вимушених коливань і його розв’язування
  5. Диференціальне рівняння вільних затухаючих коливань і його розв’язування
  6. Диференціальне рівняння вільних згасаючих коливань і його розв’язування
  7. Дифференціальні рівняння вищого порядку
  8. Загальне (часове) рівняння Шредінгера
  9. Загальний вид рівняння парної регресії.
  10. Ідеальний газ. Тиск газу. Основне рівняння МКТ

1. Розглянемо алгебраїчну лінію другого порядку , задану рівнянням

, (1)

де - деякі дійсні числові коефіцієнти, причому коефіцієнти одночасно не дорівнюють нулю. Доданки називають групою старшихчленів, вираз - лінійною частиною, число - вільним членом рівняння. Розв’язки даного рівняння, тобто впорядковані пари чисел на координатній площині задають певну множину точок, які утворюють, взагалі кажучи, деяку лінію. З частинними випадками такого рівняння ми уже зустрічалися раніше. Наприклад, рівняння або задає коло з центром в точці , радіус якого 5, рівняння визначає гіперболу з дійсною піввіссю 3 та уявною піввіссю 2, а рівняння задає єдину точку , що стає очевидним, якщо це рівняння записати у виді .

Рівняння (1) називають загальним рівнянням лінії другого порядку, оскільки з нього можна отримати будь-яке конкретне рівняння другого порядку. Зокрема в останньому прикладі . Виділення в деяких коефіцієнтах загального рівняння множника 2 зроблено для зручності та стане зрозумілим дещо пізніше.

Оскільки рівняння (1) містить 6 коефіцієнтів, які визначаються з точністю до сталого множника, то лінія другого порядку задається, взагалі кажучи, 5 точками. В деяких випадках кількість умов, які визначають лінію другого порядку може бути меншою. Наприклад, коло задається трьома точками, взятими на ньому, парабола, як виявиться дальше, - чотирма.

З метою компактності записів у наступних викладках введемо в розгляд символи , означивши їх рівностями

,

а також

.

Вони не складні для запам’ятання. Зокрема можна трактувати, як половину похідної від функції по змінній , вважаючи при цьому змінну сталою, а - як половину похідної від функції по змінній при умові, що не змінюється.

Найближчими нашими задачами буде дослідження властивостей ліній, заданих рівнянням (1), вивчення особливостей їх розташування відносно системи координат, а також дослідження питання, скільки та які різні види ліній може визначати рівняння (1).

2. Перетнемо лінію другого порядку прямою , яка проходить через деяку точку та паралельна до вектора . Параметричні рівняння прямої запишуться у виді

. (2)

Для відшукання точок перетину лінії та прямої , дістаємо систему рівнянь



.

Розв’язуючи її, приходимо до квадратного рівняння

, (3)

де

,

,

.

Дослідимо особливості взаємного розташування лінії та прямої у випадках, коли деякі коефіцієнти рівняння (3) рівні нулю.

1. Нехай . Оскільки один із коренів рівняння рівний 0, а йому відповідає точка , то у цьому випадку одна із точок перетину лінії та прямої співпадає з точкою (рис.1).

2. Нехай і рівняння має два дійсні корені . Даним кореням відповідають дві точки перетину . Легко бачити, що у цьому випадку точка є серединою хорди (рис. 2).

3. Нехай . Рівняння має єдиний корінь . Дослідимо, як змінюється другий корінь рівняння (3) при . Маємо

.

Очевидно, що при один із коренів рівняння прямує до , а абсолютна величина другого – до . Згідно із рівностями (2) при одна із точок перетину нескінченно віддаляється від точки . Таку точку ми будемо позначати та говорити, що пряма перетинає лінію в нескінченно віддаленій точці. Напрям прямої при цьому будемо називати асимптотичним. Асимптотичним буде, наприклад, напрям прямої, яка перетинає параболу та проведена паралельно до її осі симетрії (рис. 3).



4. Випадок є поєднанням випадків 1 та 2. Рівняння (3) матиме вид та корені . Пряма буде дотикатись до лінії у точці (рис. 4).

5. При точка належить лінії , а пряма матиме відносно асимптотичний напрям (рис. 5).

6. Якщо , то рівняння (3) не має розв’язків. У цьому випадку пряма не має з лінією спільних точок та має відносно асимптотичний напрям (рис. 6).

7. Коли , то рівняння (3) має розв’язком довільне дійсне число . Тоді кожна точка прямої належить лінії . Це можливо, наприклад, коли лінія вироджується у пару прямих (рис. 7).

3. Хордою лінії другого порядку назвемо відрізок, який сполучає дві точки на лінії.

Якщо для лінії існує точка, в якій всі хорди, які проходять через неї, діляться пополам, то цю точку називають центром лінії. Фактично центр лінії є її центром симетрії, оскільки разом із будь-якою точкою лінії, їй належить також точка, симетрична даній відносно центра. На рисунку 8 центром лінії є точка - середина всіх можливих хорд, які проходять через неї.

Розглянемо питання відшукання центра лінії, яка задана рівнянням (1). Згідно з попереднім пунктом, умовою того, щоб точка була серединою хорд, які проходить через неї, є виконання рівності . Оскільки дана умова повинна виконуватися для довільного напрямку, заданого вектором , тобто для довільних та , то для відшукання центра лінії дістаємо систему рівнянь

. (4)

Існування та кількість розв’язків системи (4) залежить від визначника . Якщо , то система (4) має єдиний розв’язок. У цьому випадку лінія має єдиний центр і її називають центральною. Прикладами таких ліній є еліпс, гіпербола, лінія другого порядку, яка вироджується у пару прямих, які перетинаються.



Якщо , то система (4) має безліч, або не має жодного розв’язку. Лінію в цьому випадку називають нецентральною. Прикладами таких ліній є парабола, пара паралельних прямих. В останньому випадку центри лінії утворюють пряму, яка є середньою лінією смужки, утвореної даними паралельними прямими.

Приклад 1. Знайти центр лінії, заданої рівнянням .

Розв’язання. Складемо та розв’яжемо систему рівнянь . Дістаємо , звідки . Отже, задана лінія має єдиний центр, який знаходиться в точці .

4. Розглянемо питання відшукання рівняння дотичних, проведених до лінії, заданої рівнянням (1). Згідно з попереднім, пряма буде дотичною до лінії , якщо для рівняння , яке характеризує перетин прямої з лінією , виконуються умови . Нехай точка належить лінії, тобто . Умову запишемо у виді рівності . Введемо в розгляд вектор . Оскільки одержану рівність можна записати у виді , що фактично означає, що , то вектор буде перпендикулярним до шуканої дотичної. Таким чином, рівняння дотичної, проведеної до лінії в точці , запишеться у виді

. (5)

Нормаллю до лінії, проведеній в деякій точці, називають пряму, яка перпендикулярна до дотичної, проведеній в тій же точці. Оскільки вектор буде паралельним до нормалі, то рівняння останньої запишеться у виді

. (6)

Приклад 2. Скласти рівняння дотичних до еліпса, гіперболи та параболи у довільній точці, яка їм належить, у випадку, коли лінії задані канонічними рівняннями.

Розв’язання. Нехай еліпс заданий рівнянням та точка . Знаходимо , . Рівняння (5) запишеться у виді або . Таким чином, рівняння дотичної до еліпса має вид . Аналогічно, рівняння дотичної до гіперболи в точці записується у виді

.

У випадку параболи запишемо її канонічне рівняння у виді , звідки , . Рівняння (5) набуде виду . Оскільки , то рівняння дотичної можна записати у виді

.

Використовуючи одержане рівняння, знайдемо точку перетину дотичної з віссю . При дістаємо . Одержаний результат дозволяє зображати дотичну до параболи в заданій на параболі точці без додаткових обчислень.

Нагадаємо, що із виведеними співвідношеннями ми уже зустрічались в лекціях 13-14, п. 6, де для їх отримання довелось використати методи математичного аналізу. В даній лекціїі вони розглядаються як приклади наведених вище загальних міркувань.

Приклад 3. Знайти множину точок, з яких параболу видно під прямим кутом.

Розв’язання. Нехай - одна із точок шуканої множини, тобто кут між дотичними, які проведені до параболи із даної точки, рівний . Запишемо рівняння пучка прямих, які проходять через точку у виді . Даний пучок не містить вертикальних прямих, але такі прямі розглядати не потрібно, оскільки парабола не має вертикальних дотичних. Виберемо з пучка прямі, які дотикаються до параболи. Для цього система рівнянь та повинна мати єдиний розв’язок. На рівняння , яке дістаємо при розв’язуванн системи, накладемо умову, що його дискримінант рівний нулю. Отримаємо рівняння . Кожен з коренів одержаного рівняння визначає дотичну до параболи пряму. Дані дві прямі будуть перпендикулярними, якщо виконується умова . Скориставшись теоремою Вієта, дістаємо або . Дане співвідношення є рівнянням шуканої множини точок.

Відповідь: Шуканою множиною є точки прямої . Зауважимо, що для параболи ця пряма є директрисою.

 


Дата добавления: 2014-12-03; просмотров: 239; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.021 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты