Рівняння дотичної та нормалі.

1. Розглянемо алгебраїчну лінію другого порядку , задану рівнянням

, (1)

де - деякі дійсні числові коефіцієнти, причому коефіцієнти одночасно не дорівнюють нулю. Доданки називають групою старшихчленів, вираз - лінійною частиною, число - вільним членом рівняння. Розв’язки даного рівняння, тобто впорядковані пари чисел на координатній площині задають певну множину точок, які утворюють, взагалі кажучи, деяку лінію. З частинними випадками такого рівняння ми уже зустрічалися раніше. Наприклад, рівняння або задає коло з центром в точці , радіус якого 5, рівняння визначає гіперболу з дійсною піввіссю 3 та уявною піввіссю 2, а рівняння задає єдину точку , що стає очевидним, якщо це рівняння записати у виді .

Рівняння (1) називають загальним рівнянням лінії другого порядку, оскільки з нього можна отримати будь-яке конкретне рівняння другого порядку. Зокрема в останньому прикладі . Виділення в деяких коефіцієнтах загального рівняння множника 2 зроблено для зручності та стане зрозумілим дещо пізніше.

Оскільки рівняння (1) містить 6 коефіцієнтів, які визначаються з точністю до сталого множника, то лінія другого порядку задається, взагалі кажучи, 5 точками. В деяких випадках кількість умов, які визначають лінію другого порядку може бути меншою. Наприклад, коло задається трьома точками, взятими на ньому, парабола, як виявиться дальше, - чотирма.

З метою компактності записів у наступних викладках введемо в розгляд символи , означивши їх рівностями

,

а також

.

Вони не складні для запам’ятання. Зокрема можна трактувати, як половину похідної від функції по змінній , вважаючи при цьому змінну сталою, а - як половину похідної від функції по змінній при умові, що не змінюється.

Найближчими нашими задачами буде дослідження властивостей ліній, заданих рівнянням (1), вивчення особливостей їх розташування відносно системи координат, а також дослідження питання, скільки та які різні види ліній може визначати рівняння (1).

2. Перетнемо лінію другого порядку прямою , яка проходить через деяку точку та паралельна до вектора . Параметричні рівняння прямої запишуться у виді

. (2)

Для відшукання точок перетину лінії та прямої , дістаємо систему рівнянь

.

Розв’язуючи її, приходимо до квадратного рівняння

, (3)

де

,

,

.

Дослідимо особливості взаємного розташування лінії та прямої у випадках, коли деякі коефіцієнти рівняння (3) рівні нулю.

1. Нехай . Оскільки один із коренів рівняння рівний 0, а йому відповідає точка , то у цьому випадку одна із точок перетину лінії та прямої співпадає з точкою (рис.1).

2. Нехай і рівняння має два дійсні корені . Даним кореням відповідають дві точки перетину . Легко бачити, що у цьому випадку точка є серединою хорди (рис. 2).

3. Нехай . Рівняння має єдиний корінь . Дослідимо, як змінюється другий корінь рівняння (3) при . Маємо

.

Очевидно, що при один із коренів рівняння прямує до , а абсолютна величина другого – до . Згідно із рівностями (2) при одна із точок перетину нескінченно віддаляється від точки . Таку точку ми будемо позначати та говорити, що пряма перетинає лінію в нескінченно віддаленій точці. Напрям прямої при цьому будемо називати асимптотичним. Асимптотичним буде, наприклад, напрям прямої, яка перетинає параболу та проведена паралельно до її осі симетрії (рис. 3).

4. Випадок є поєднанням випадків 1 та 2. Рівняння (3) матиме вид та корені . Пряма буде дотикатись до лінії у точці (рис. 4).

5. При точка належить лінії , а пряма матиме відносно асимптотичний напрям (рис. 5).

6. Якщо , то рівняння (3) не має розв’язків. У цьому випадку пряма не має з лінією спільних точок та має відносно асимптотичний напрям (рис. 6).

7. Коли , то рівняння (3) має розв’язком довільне дійсне число . Тоді кожна точка прямої належить лінії . Це можливо, наприклад, коли лінія вироджується у пару прямих (рис. 7).

3. Хордою лінії другого порядку назвемо відрізок, який сполучає дві точки на лінії.

Якщо для лінії існує точка, в якій всі хорди, які проходять через неї, діляться пополам, то цю точку називають центром лінії. Фактично центр лінії є її центром симетрії, оскільки разом із будь-якою точкою лінії, їй належить також точка, симетрична даній відносно центра. На рисунку 8 центром лінії є точка - середина всіх можливих хорд, які проходять через неї.

Розглянемо питання відшукання центра лінії, яка задана рівнянням (1). Згідно з попереднім пунктом, умовою того, щоб точка була серединою хорд, які проходить через неї, є виконання рівності . Оскільки дана умова повинна виконуватися для довільного напрямку, заданого вектором , тобто для довільних та , то для відшукання центра лінії дістаємо систему рівнянь

. (4)

Існування та кількість розв’язків системи (4) залежить від визначника . Якщо , то система (4) має єдиний розв’язок. У цьому випадку лінія має єдиний центр і її називають центральною. Прикладами таких ліній є еліпс, гіпербола, лінія другого порядку, яка вироджується у пару прямих, які перетинаються.

Якщо , то система (4) має безліч, або не має жодного розв’язку. Лінію в цьому випадку називають нецентральною. Прикладами таких ліній є парабола, пара паралельних прямих. В останньому випадку центри лінії утворюють пряму, яка є середньою лінією смужки, утвореної даними паралельними прямими.

Приклад 1. Знайти центр лінії, заданої рівнянням .

Розв’язання. Складемо та розв’яжемо систему рівнянь . Дістаємо , звідки . Отже, задана лінія має єдиний центр, який знаходиться в точці .

4. Розглянемо питання відшукання рівняння дотичних, проведених до лінії, заданої рівнянням (1). Згідно з попереднім, пряма буде дотичною до лінії , якщо для рівняння , яке характеризує перетин прямої з лінією , виконуються умови . Нехай точка належить лінії, тобто . Умову запишемо у виді рівності . Введемо в розгляд вектор . Оскільки одержану рівність можна записати у виді , що фактично означає, що , то вектор буде перпендикулярним до шуканої дотичної. Таким чином, рівняння дотичної, проведеної до лінії в точці , запишеться у виді

. (5)

Нормаллю до лінії, проведеній в деякій точці, називають пряму, яка перпендикулярна до дотичної, проведеній в тій же точці. Оскільки вектор буде паралельним до нормалі, то рівняння останньої запишеться у виді

. (6)

Приклад 2. Скласти рівняння дотичних до еліпса, гіперболи та параболи у довільній точці, яка їм належить, у випадку, коли лінії задані канонічними рівняннями.

Розв’язання. Нехай еліпс заданий рівнянням та точка . Знаходимо , . Рівняння (5) запишеться у виді або . Таким чином, рівняння дотичної до еліпса має вид . Аналогічно, рівняння дотичної до гіперболи в точці записується у виді

.

У випадку параболи запишемо її канонічне рівняння у виді , звідки , . Рівняння (5) набуде виду . Оскільки , то рівняння дотичної можна записати у виді

.

Використовуючи одержане рівняння, знайдемо точку перетину дотичної з віссю . При дістаємо . Одержаний результат дозволяє зображати дотичну до параболи в заданій на параболі точці без додаткових обчислень.

Нагадаємо, що із виведеними співвідношеннями ми уже зустрічались в лекціях 13-14, п. 6, де для їх отримання довелось використати методи математичного аналізу. В даній лекціїі вони розглядаються як приклади наведених вище загальних міркувань.

Приклад 3. Знайти множину точок, з яких параболу видно під прямим кутом.

Розв’язання. Нехай - одна із точок шуканої множини, тобто кут між дотичними, які проведені до параболи із даної точки, рівний . Запишемо рівняння пучка прямих, які проходять через точку у виді . Даний пучок не містить вертикальних прямих, але такі прямі розглядати не потрібно, оскільки парабола не має вертикальних дотичних. Виберемо з пучка прямі, які дотикаються до параболи. Для цього система рівнянь та повинна мати єдиний розв’язок. На рівняння , яке дістаємо при розв’язуванн системи, накладемо умову, що його дискримінант рівний нулю. Отримаємо рівняння . Кожен з коренів одержаного рівняння визначає дотичну до параболи пряму. Дані дві прямі будуть перпендикулярними, якщо виконується умова . Скориставшись теоремою Вієта, дістаємо або . Дане співвідношення є рівнянням шуканої множини точок.

Відповідь: Шуканою множиною є точки прямої . Зауважимо, що для параболи ця пряма є директрисою.