Задачі.

2. Розглянемо на площині деяку пряму d, задану рівнянням , та коло γ, задане рівнянням . Центр кола очевидно знаходиться в точці , а його радіус рівний . Щоб дати відповідь на питання про взаємне розташування прямої та кола (тобто встановити, який з випадків має місце: коло та пряма перетинаються, дотикаються, або не мають спільних точок), достатньо порівняти радіус кола із відстанню від центра кола до прямої. Згідно з попереднім,

.

Тому, якщо , то пряма та коло перетинаються. Якщо , то коло та пряма дотикаються. У випадку, коли , коло та пряма не перетинаються (рис. 2).

3. Нехай дві прямі d₁ та d₂ задані своїми рівняннями:

: , : .

Щоб встановити їхнє взаємне розташування на площині, розглянемо напрямні вектори цих прямих: та . Будемо вважати, що задані прямі не паралельні до жодної із координатних осей, оскільки в цьому випадку відповідь на питання про взаємне розташування прямих очевидна. Прямі та паралельні тоді і тільки тоді, коли вектори та колінеарні, тобто, коли виконується рівність . Умова є необхідною і достатньою умовою паралельності прямих та . Якщо , то прямі та перетинаються.

Паралельні прямі та співпадатимуть, якщо точка прямої належить другій прямій, тобто виконуються рівності , . Нехай . Тоді, підставляючи в перше рівняння , дістаємо , або, враховуючи друге рівняння, , звідки . Отже, якщо прямі та співпадають, то . Вірне і обернене твердження. Пропонуємо читачеві самостійно розглянути умови паралельності, перетину та співпадання прямих у випадку, коли їхні рівняння задаються у вигляді та .

У випадку перетину прямих та можна поставити питання про величину кута між прямими, зокрема встановити, в якому випадку прямі будуть перпендикулярними. Систему координат при цьому вважатимемо прямокутною декартовою.

Очевидно, що кут між прямими та визначається кутом між паралельними до цих прямих векторами та (рис. 3). Знаходячи за допомогою скалярного добутку кут між даними векторами, дістаємо

.

Зокрема, прямі та будуть перпендикулярними тоді і тільки тоді, коли вектори та ортогональні (рис. 4), тобто, якщо . Остання умова рівносильна рівності

,

яка виражає необхідну і достатню умову перпендикулярності двох прямих, заданих загальними рівняннями.

y

x

звідки

Одержана рівність виражає необхідну і достатню умову перпендикулярності двох прямих, заданих своїми рівняннями з кутовими коефіцієнтами.

4. Розглянемо детальніше випадок, коли прямі та паралельні. Пропорційність коефіцієнтів біля змінних x та y дозволяє записати їхні рівняння у виді

Для відшукання відстані між цими прямими достатньо знайти відстань від точки на одній з них до другої прямої (на рис. 7 - це відстань від точки , яка належить прямій , до прямої ). Користуючись відомою нам формулою відстані від точки до прямої, знаходимо: . Враховуючи те, що , остаточно дістаємо .

За допомогою одержаного співвідношення можна знаходити відстань між паралельними прямими.

5. Пряма яка розглядається в деякій афінній системі координат , розбиває площину на дві півплощини з границею d. Встановимо умови, які визначають ці півплощини. Насамперед відмітимо, що вектор не може бути паралельним до прямої . Справді, нам відомо, що вектор паралельний до прямої. Тоді якби вектори та були колінеарними, то виконувалася б рівність , або , що неможливо, оскільки коефіцієнти та в рівнянні прямої одночасно не можуть дорівнювати нулю. Обчислимо значення виразу для довільної точки , яка не належить прямій . Для цього через точку М проведемо пряму паралельно до вектора та позначимо точку її перетину з прямою через . Із колінеарності векторів та тобто з рівності випливають співвідношення , . Тому

.

Отже, знак виразу залежить тільки від знаку числа . При вектори та співнапрямлені, тому точки, для яких утворюють одну півплощину, а при вектори напрямлені протилежно, тому точки, для яких виконується нерівність , будуть утворювати іншу півплощину з границею .

6. Множину всіх прямих площини, які проходять через спільну точку, називають пучком прямих з центром у цій точці.

Очевидно, що пучок прямих можна задати, вказавши центр пучка, або задавши центр пучка, як точку перетину двох прямих.

Рівняння

, (1)

де та – довільні коефіцієнти, які одночасно не дорівнюють нулю, а – фіксовані, задає рівняння пучка з центром в точці . Справді, якщо та одночасно не рівні нулю, то дане співвідношення є рівнянням першого степеня, тобто задає пряму, яка, очевидно, проходить через точку . Напрям прямої визначається коефіцієнтами та і може бути довільним. Іноді крім рівняння (1), яке містить два змінні параметри та , розглядають рівняння пучка з одним параметром у виді

, (2)

або

. (3)

Зауважимо, що в цьому випадку пучок (2) не містить однієї з усіх прямих пучка (1), а саме прямої , а з пучка (3) не можна одержати пряму (в пучку (1) пряму отримуємо при , а пряму - при ).

Нехай центр пучка заданий перетином двох прямих

, (4)

причому . Тоді рівняння пучка можна задати, не розв’язуючи системи (4), тобто не знаходячи центра пучка. Справді, розглянемо рівняння

, (5)

де та – змінні параметри, які одночасно не дорівнюють нулю. Якщо - розв’язок системи (4), то він є розв’язком рівняння (5), оскільки кожен із двох доданків в даній точці перетворюється в нуль. Щоб показати, що рівняння (5) є рівнянням першого степеня, тобто є рівнянням прямої, потрібно переконатись, що коефіцієнти біля змінних та одночасно не можуть перетворюватися в нуль. Доведемо це методом від супротивного. Нехай та , а також . Тоді , що суперечить умові про існування єдиного розв'язку системи (4) (при з умови випливало б, що , що приводять до суперечності). Те, що пряма (5) може мати довільний напрям, тобто бути паралельною до довільного вектора , випливає з того, що система має єдиний розв’язок (нагадаємо, що вектор є напрямним для прямої (5)). Іноді рівняння пучка (5) записують, користуючись лише одним змінним параметром у виді

(6)

або

. (7)

Недоліком таких записів є те, що з пучка (7) не можна отримати прямої , а пучка (6) – прямої . При розв’язуванні задач із застосуванням рівнянь (6) або (7) такі прямі потрібно розглядати окремим випадком.

7. Розглянемо приклади розв’язання задач, в яких використовуються наведені результати.

Задача 1. Скласти рівняння дотичних до кола , проведених з точки .

Розв’язання .І спосіб. Перетворимо рівняння кола до виду , що дозволяє знайти центр кола - точку та його радіус . Складемо рівняння пучка прямих з центром в точці K: та підберемо параметри та так, щоб прямі із одержаного пучка проходили на відстані 1 від точки . Користуючись формулою відстані від точки до прямої, дістаємо , або , звідки після спрощень дістаємо або . При із рівняння пучка дістаємо перший розв’язок : . Одним з ненульових розв’язків рівняння є . Це дозволяє отримати другий розв’язок задачі: .

Відповідь: .

ІІ спосіб. Оскільки та , то з прямокутного трикутника (рис. 8) відрізок KH дотичної, проведеної з точки до кола, рівний 2, тому дотичні до кола утворюють з прямою KS кут , для якого . Рівняння прямої KS запишемо у виді рівняння прямої у відрізках на осях , або . Кутовий коефіцієнт одержаної прямої буде . Запишемо рівняння пучка з центром у точці K у виді (при цьому з розгляду випадає пряма , але, як легко бачити, вона не є дотичною до кола). Виберемо з одержаного пучка дві прямі, виходячи з умови, що вони утворюють з прямою KS кут , де . Скориставшись формулою для відшукання кута між двома прямими у виді , дістаємо , звідки . Розв’язуючи одержане рівняння, знаходимо . Підставивши значення в рівняння пучка, отримуємо попередню відповідь.

ІІІ спосіб. Скористаємось записаним вище рівнянням пучка прямих і виберемо параметр так, щоб система мала єдиний розв’язок (дотична з колом мають єдину спільну точку). Розв’язуючи систему, дістаємо рівняння . Оскільки його дискримінант , то . Залишається підставити одержані значення у рівняння пучка та одержати попередню відповідь.

ІV спосіб. Складемо рівняння кола з діаметром KS. Центр його буде знаходитися в точці , а радіус . Отримаємо , або . Точки перетину одержаного кола, та кола, заданого в умові задачі, належать шуканим дотичним. Розв’язуючи систему , дістаємо Склавши рівняння прямих, які проходять через кожну з одержаних точок та точку S, дістаємо попередню відповідь.

Задача 2. Задати аналітично множину точок, розташованих між паралельними прямими та .

Розв’язання. Візьмемо на прямій точку та встановимо знак виразу . Оскільки в точці вираз від’ємний, то нерівність задає півплощину, яка містить пряму та обмежена прямою Аналогічно, вибравши точку на прямій , встановлюємо, що вираз в даній точці приймає додатне значення, тобто нерівність задає півплощину, яка містить пряму . Точки, розташовані між прямими, є спільними точками одержаних півплощин.

Відповідь: