Приклади. 1. Нехай у прямокутній декартовій системі координат рівняння ax+by+cz+d=0 визначає деяку площину

1. Нехай у прямокутній декартовій системі координат рівняння ax+by+cz+d=0 визначає деяку площину , а також задана точка . Обчислимо відстань від даної точки до площини . Вважатимемо, що точка – основа перпендикуляра, опущеного із точки на площину (рис. 1).

, , ,

або , , .

Оскільки координати точки задовольняють рівняння площини , то виконується рівність , звідки . Тоді

= .

Таким чином,

. (1)

Одержане співвідношення виражає відстань від точки до площини.

2. Задамо в просторі афінну систему координат та розглянемо площину , задану рівнянням . Вона розбиває весь простір на два півпростори із спільною границею – площиною . Знайдемо умови, які визначають ці півпростори.

Виберемо на даній площині деяку точку та проведемо через неї паралельно до вектора пряму (рис. 2). Даний вектор не може бути паралельним до площини , оскільки тоді, згідно з лемою про паралельність вектора та площини (лекція 7, п. 3), виконувалася б рівність , що неможливо. Нагадаємо, що в прямокутній системі координат вектор перпендикулярний до площини . Виберемо на прямій довільну точку та запишемо рівності , які випливають із колінеарності векторів та , оскільки останні можна зв’язати між собою рівністю . Обчислимо значення виразу для точки :

.

Оскільки , то знак виразу залежить від знаку множника . Якщо , то вектори та співнапрямлені, тому всі точки , для яких >0, будуть утворювати півпростір, обмежений площиною (цьому півпростору належить кінець вектора ). При вектори та напрямлені протилежно, тому множина точок, для яких <0, утворює інший півпростір, границею якого є площина .

3. Дослідимо взаємне розташування двох площин , заданих в деякій афінній системі координат рівняннями

, .

Очевидно, що площини та можуть бути паралельними (зокрема співпадати), або перетинатись. У першому випадку можна говорити про відстань між ними, а у другому – про кут між площинами.

Дослідимо умову паралельності площин. Нехай . Розглянемо паралельні до площини вектори та (нагадаємо, що вектор паралельний до площини тоді і тільки тоді, коли виконується рівність ). Для того, щоб площини та були паралельними, необхідно і достатньо, щоб ці вектори були паралельними до площини , тобто повинні виконуватися рівності

, . (2)

Звідси дістаємо умову паралельності площин

4. Нехай площини та будуть паралельні. Тоді їхні рівняння можна записати у виді

, .

Знайдемо відстань між даними площинами. Якщо точка , то шукана відстань буде дорівнювати відстані від цієї точки до площини . Користуючись формулою відстані від точки до площини з пункту 1, дістаємо

.

5. Взаємне розташування двох площин можна досліджувати і іншими способами, зокрема, користуючись методами лінійної алгебри. Покажемо, як використовується цей метод при дослідженні взаємного розташування трьох площин , заданих рівняннями

, .

Дослідимо систему рівнянь

. (4)

Для цього введемо в розгляд матриці

та і позначимо їхні ранги відповідно через та .

Можливі наступні випадки:

a) . В цьому випадку система (4) має єдиний розв’язок, а площини мають єдину спільну точку;

б) . Система (4) має однопараметричну нескінченну сім’ю розв’язків. Всі три площини в цьому випадку перетинаються по спільній прямій або дві з площин співпадають; а третя їх перетинає.

в) . Система (4) має двопараметричну нескінченну сім’ю розв’язків, тобто, рівносильна одному із трьох її рівнянь. У цьому випадку всі три площини співпадають;

г) , . Система (4) розв’язків не має. Площини попарно перетинаються по трьох паралельних прямих, або дві з площин паралельні, а третя їх перетинає;

д) , . Система (4) розв’язків не має. У цьому випадку площини паралельні між собою (можливий випадок співпадання двох із них).

6. Наведемо приклади.

Задача 1. Визначити, на якій відстані від початку координат проходить площина , задана рівнянням .

Розв’язання. Користуючись рівністю (1), дістаємо

Відповідь: 2.

Задача 2. У трикутній піраміді SABC ребра SA, SB та SC взаємно перпендикулярні та рівні відповідно . Обчислити довжину висоти SH.

Розв’язання. Введемо прямокутну систему координат, вибравши початок координат в точці та вибравши за напрямки осей відповідно напрямки променів SA, SB та SC. Оскільки на осях та площина ABC відтинає відповідно відрізки та , то її рівняння запишеться у виді . Скориставшись формулою (1), одержуємо довжину висоти SH, як відстань від точки до площини (ABC): .

Задача 3. Встановити, чи перетинає площину, яка задана рівнянням , відрізок, кінці якого знаходяться в точках та .

Розв’язання. Визначимо знак виразу для кожної із заданих точок. Знаходимо , . Оскільки обидві точки розташовані в одному півпросторі, то відрізок площину не перетинає.

Задача 4. Скласти рівняння площини, яка проектує пряму на площину , яка задана рівнянням .

Розв’язання. Очевидно, що проектуюча площина паралельна до векторів та , перший з яких паралельний до заданої прямої, а другий перпендикулярний до площини . Крім цього, площина повинна проходити через точку , яка належить прямій. Рівняння шуканої площини запишемо у вигляді визначника . Після очевидних обчислень дістаємо шукане рівняння .

Відповідь: .