Пряма на площині. Різні способи задання прямої на площині.

План.

Геометричні образи рівняння першого степеня з двома змінними.

Різні способи задання прямої на площині.

Частинні випадки загального рівняння прямої.

Приклади.

Дослідимо, які геометричні образи відповідають рівнянню першого степеня з двома змінними, тобто рівнянню , в якому хоча б один із коефіцієнтів біля змінних та відмінний від нуля (цю умову записують у виді або ). Покажемо, що в довільній афінній системі координат рівняння першого степеня

(1)

визначає деяку пряму. Нехай - фіксований та - довільний розв’язки рівняння (1). Віднімаючи від рівняння (1) рівність , дістаємо . Одержану рівність можна записати у виді

, (2)

(тут – деяке число). Введемо в розгляд точки , та вектор . Тоді співвідношення (2) можна замінити векторною рівністю . Оскільки для кожної точки вектор залишається колінеарним сталому вектору , то всі такі точки належать прямій, що проходить через точку та паралельна вектору .

Розглянемо основні способи задання прямої на площині.

(3)

Очевидно, що одержане рівняння є рівнянням першого степеня. Його називають канонічним рівнянням прямої.

Нехай пряма задана двома точками та .Для того, щоб скласти її рівняння, скористаємось співвідношенням (3), замінивши точку точкою , та взявши замість вектора вектор . Отримуємо

_. (4)

Одержане рівняння називають рівнянням прямої, що проходить через дві задані точки.

Прирівнявши відношення в рівності (3) до параметра , отримаємо , , звідки

. (5)

Дані рівності називають параметричними рівняннями прямої. Якщо напрямний вектор - одиничний, тобто , то із рівності (5) дістанемо

,

тобто у цьому випадку модуль параметра має цілком конкретний геометричний зміст - це відстань між точками та на заданій прямій.

Нехай пряма d відтинає на координатних осях та відрізки з довжинами та (рис. 2). Тоді на прямій будуть відомі дві точки та і ми можемо скористатись рівністю (2). Дістаємо , або . Розділивши одержану рівність на , дістанемо

. (6)

Одержане співвідношення називають рівнянням прямої у відрізках на осях.

Нехай система координат прямокутна декартова, а пряма d задається в ній точкою та перпендикулярним до неї вектором (рис. 3). Такий вектор називають вектором нормалі до прямої або нормальним вектором. Точка належить прямій d тоді і тільки тоді, коли вектори та будуть перпендикулярні, тобто тоді і тільки тоді, коли їхній скалярний добуток рівний нулю. З рівності дістаємо

(7)

Одержане співвідношення називають рівнянням прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно до даного напрямку.

Нехай пряма утворює з додатнім напрямком осі Ох кут ( система координат вважається прямокутною декартовою) та проходить через точку (рис. 4). Знайдемо напрямний вектор до прямої . Очевидно що за допомогою кута його координати можна виразити рівностями . Скориставшись рівнянням (3), дістанемо , звідки

, (8)

або

, ( )

де . Рівняння (8) або ( ) називають рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом. Кутовий коефіцієнт визначає кут нахилу прямої до осі . Очевидно, що рівняння прямих, які перпендикулярні до осі , у вигляді (8) подати не можна.

Розглянуті нами вище варіанти різних способів задання прямої в усіх випадках проводять до рівняння прямої у виді (1). Тому рівняння називають загальним рівнянням прямої.

В якому виді записувати рівняння прямої залежить від задачі, яка розв’язується. Наприклад, якщо трикутник заданий координатами своїх вершин, то рівняння медіан легко отримати, користуючись рівнянням прямої, що проходить через дві точки. Для того, щоб скласти рівняння висот, доцільно використовувати рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно до заданого вектора. В ролі останнього досить взяти вектор, який сполучає дві інші вершини трикутника. При написанні рівняння бісектриси трикутника можна скористатися її напрямним вектором , або де - вектори, які побудовані на сторонах трикутника і виходять із спільної вершини. В обох випадках вектор , як вектор суми двох рівних за довжиною векторів, співпадає з діагоналлю ромба, яка, як відомо, є бісектрисою його кута.

Водночас зауважимо, що у виді (3) не записують рівняння прямих, якщо одна із координат напрямного вектора рівна 0. У виді (4) не записують рівняння прямих, що проходять через дві точки з рівними абсцисами або ординатами. У вигляді (8) не можна записати рівняння прямих, які перпендикулярні до осі .

3. Розглянемо частинні випадки рівняння (1), коли деякі із коефіцієнтів рівняння рівні нулю. Отже, нехай рівняння прямої задано у виді .

При рівняння прямої запишеться у вигляді . Очевидно, що пряма проходить через початок координат.

Нехай . Рівняння прямої запишеться у вигляді і, оскільки (рівняння прямої є рівнянням першого степеня, тому та одночасно не можуть дорівнювати нулю), то В цьому випадку для всіх точок прямої ординати рівні , а абсциси довільні, тому пряма проходить через точку на осі паралельно до осі . Якщо ,то пряма проходить через початок координат і паралельна до осі , тобто рівняння є рівнянням осі Ох.

Аналогічно, при рівняння прямої запишеться у виді або і визначає пряму, яка проходить через точку на осі та паралельна до осі . При дістанемо рівняння , яке є рівнянням осі .

Зауважимо, що в загальному рівнянні прямої коефіцієнти біля змінних х та у мають конкретний геометричний зміст: вони визначають координати вектора, який паралельний до прямої – це вектор , а у випадку прямокутної декартової системи координат вектор перпендикулярний до прямої.

4. Наведемо приклади задач, які розв’язуються за допомогою отриманих вище співвідношень.

Задача 1. Довести, що медіани трикутника перетинаються в одній точці та діляться нею у відношенні , рахуючи від вершини.

Задача 2. Знайти ортоцентр (точку перетину висот) трикутника з вершинами у точках , , та .

Розв’язання. Рівняння висоти складемо, знаючи вершину А та знайшовши вектор , який перпендикулярний до висоти . Скориставшись співвідношенням (7), дістаємо або Аналогічно, знайшовши вектор , дістаємо рівняння висоти : або . Ортоцентр (точку ) знаходимо, розв’язавши систему рівнянь

Відповідь: .

Задача 3. Знайти сторону квадрата, вписаного в прямокутний трикутник з катетами , знаючи, що дві сторони квадрата належать катетам трикутника.

Розв’язання. Нехай сторона квадрата рівна . Введемо в розгляд систему координат, вибравши початок координат у вершині прямого кута та спрямувавши координатні осі вздовж катетів трикутника. Скориставшись рівнянням прямої у відрізках на осях, запишемо рівняння гіпотенузи у виді Оскільки вершина квадрата, яка належить гіпотенузі, має координати то виконується рівність звідки .

Відповідь: .