Поняття розбиття множини на класи (підмножини), що попарно не перетинаються. Розбиття множини на класи за допомогою однієї, двох і трьох властивостей. Класифікації.

8. Розглянемо множину студентів педфаку, позначивши її А. Розглянемо на цій множині властивість «бути однокурсником». За допомогою цієї властивості множина А розіб’ється на п’ять підмножин: А₁ – множина студентів І курсу; А₂ - множина студентів ІІ курсу; А₃ – множина студентів ІІІ курсу; А₄ – множина студентів ІУ курсу; А₅ – множина студентів У курсу. Що характерне для цих множин? - 1) вони не порожні; 2) вони попарно не перетинаються; 3) об’єднання цих підмножин дає нам множину А, тобто А₁ÈА₂ÈА₃ÈА₄ÈА₅=А. В таких випадках говорять, що ми маємо справу із розбиттям множини на підмножини (класи), що попарно не перетинаються.

Чи можна розбити множину А іншим способом? – так, якщо розглянути ще одну властивість, наприклад, „навчатися на державній формі фінансування”. Скільки підмножин ми при цьому отримаємо? – оскільки кожна із підмножин А₁, А₂, А₃, А₄ і А₅ розіб’ється в свою чергу ще на п’ять підмножин, то всього за допомогою двох властивостей одержимо десять підмножин: А₁₁ – множина студентів І курсу, які навчаються на державній формі фінансування; А₁₂ – множина студентів І курсу, які навчаються на платній формі фінансування; А₂₁ – множина студентів ІІ курсу, які навчаються на державній формі фінансування; А₂₂ – множина студентів ІІ курсу, які навчаються на платній формі фінансування; А₃₁ – множина студентів ІІІ курсу, які навчаються на державній формі фінансування; А₃₂ – множина студентів ІІІ курсу, які навчаються на платній формі фінансування; А₄₁ – множина студентів ІУ курсу, які навчаються на державній формі фінансування; А₄₂ – множина студентів ІУ курсу, які навчаються на платній формі фінансування; А₅₂ – множина студентів У курсу, які навчаються на державній формі фінансування; А₅₂ – множина студентів У курсу, які навчаються на платній формі фінансування. Що характерне для цих підмножин? - 1) вони також не порожні; 2) вони попарно не перетинаються; 3) вони в об’єднанні дають всю множину А. В таких випадках говорять, що ми маємо справу із розбиттям множини на підмножини (класи), що попарно не перетинаються.

Якщо крім названих двох властивостей розглянути ще одну властивість „проживати у сільській місцевості”, то кожна із отриманих раніше підмножин розіб’ється на дві, а тому ми отримаємо у множині А з допомогою трьох властивостей двадцять підмножин: А₁₁₁ – множина студентів І курсу, які навчаються на державній формі фінансування і проживають у сільській місцевості; А₁₁₂ – множина студентів І курсу, які навчаються на платній формі фінансування і не проживають у сільській місцевості; А₁₂₁ – множина студентів І курсу, які навчаються на платній формі фінансування і проживають у сільській місцевості; А₁₂₂ – множина студентів І курсу, які навчаються на платній формі фінансування і не проживають у сільській місцевості; А₂₁₁ – множина студентів ІІ курсу, які навчаються на державній формі фінансування і проживають у сільській місцевості; А₂₁₂ – множина студентів ІІ курсу, які навчаються на платній формі фінансування і не проживають у сільській місцевості; А₂₂₁ – множина студентів ІІ курсу, які навчаються на платній формі фінансування і проживають у сільській місцевості; А₂₂₂ – множина студентів ІІ курсу, які навчаються на платній формі фінансування і не проживають у сільській місцевості; А₃₁₁ – множина студентів ІІІ курсу, які навчаються на державній формі фінансування і проживають у сільській місцевості; А₃₁₂ – множина студентів ІІІ курсу, які навчаються на платній формі фінансування і не проживають у сільській місцевості; А₃₂₁ – множина студентів ІІІ курсу, які навчаються на платній формі фінансування і проживають у сільській місцевості; А₃₂₂ – множина студентів ІІІ курсу, які навчаються на платній формі фінансування і не проживають у сільській місцевості; А₄₁₁ – множина студентів ІУ курсу, які навчаються на державній формі фінансування і проживають у сільській місцевості; А₄₁₂ – множина студентів ІУ курсу, які навчаються на платній формі фінансування і не проживають у сільській місцевості; А₄₂₁ – множина студентів ІУ курсу, які навчаються на платній формі фінансування і проживають у сільській місцевості; А₄₂₂ – множина студентів ІУ курсу, які навчаються на платній формі фінансування і не проживають у сільській місцевості; А₅₁₁ – множина студентів У курсу, які навчаються на державній формі фінансування і проживають у сільській місцевості; А₅₁₂ – множина студентів У курсу, які навчаються на платній формі фінансування і не проживають у сільській місцевості; А₅₂₁ – множина студентів У курсу, які навчаються на платній формі фінансування і проживають у сільській місцевості; А₅₂₂ – множина студентів У курсу, які навчаються на платній формі фінансування і не проживають у сільській місцевості. Які ж властивості мають вказані підмножини? – такі ж самі, як і попередніх випадках. Чи може хтось сформувати означення розбиття множини на підмножини, що попарно не перетинаються?

Означення: Система S непорожніх підмножин даної множини М називається розбиттям множини М на підмножини (класи), що попарно не перетинаються, якщо кожний елемент мÎМ належить одній і тільки одній підмножині з Ѕ, тобто, якщо:

1) кожен елемент з множини Ѕ є підмножиною множини М;

2) кожен елемент з Ѕ є непорожньою множиною;

3) елементи з множини Ѕ попарно не перетинаються;

4) об’єднання всіх елементів з Ѕ утворює множину М, тобто, кожен елемент з множини М належить одній з підмножин розбиття Ѕ.

Поняття розбиття множин на підмножини, що попарно не перетинаються, широко використовуються при проведенні класифікацій. Прикладом класифікацій у математиці може бути поділ кутів на прямі і непрямі, натуральних чисел на парні і непарні тощо. У біології це поділ організмів на живі та неживі, у бібліотекознавстві – різноманітні каталоги. Разом з тим зазначимо, що для правильного проведення класифікації слід дотримуватися вказаних в означенні умов. Якщо хоча б одна із вказаних умов буде порушена, то класифікація стане неправильною.