КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Малюнок №1.1. Зображення універсальної множини.
Розглянемо дві множини А і В, таких, що кожен елемент множини В є елементом множини А, але в множині А є елементи, яких немає в множині В. У цьому випадку говорять, що множина В є підмножиною множини А. Це позначають так: BÌA або АÉВ, а читають: множина В є підмножиною множини А або В включається в А, або А включає В.
Означення: якщо кожен елемент множини В є елементом множини А, але в множині А є хоча б один елемент, яких немає в множині В, то множину В називають власною підмножиною множини А.
Символічно це записують так: BÌA або AÉB. Цей запис означає, що множина В включається в А і, що ці множини перебувають у відношенні включення. Підмножини бувають власні і невласні. Кожна скінченна не порожня множина А має дві невласні підмножини: 1) порожню (Æ); 2) саму себе (А).
Розглянемо деяку скінченну множину. Домовимося позначати множину всіх підмножин множини А символом Р(А), а число елементів множини Р(А) через n(Р(А)). Нехай А={2, 5, 7} і запишемо всі підмножини цієї множини. Це будуть: В1={2}, В2={5}, В3={7}, В4={2,5}, В5={2,7}, В6={5,7}, В7=Æ, В8=A={2,5,7}. Підмножини В1, В2, В3, В4, В5 і В6– власні, а В7 і В8 – невласні. Таким чином, Р(А)={Æ, А, {2}, {5}, {7}, {2,5}, {2,7}, {5,7}}. Отже, множина А, яка містила три елемента, має вісім підмножин. В математиці доведено, що число підмножин будь-якої скінченої множини визначається за формулою: n(p(A))=2k, де n(p(A)) – число підмножин множини А, k – число елементів множини А, тобто n(A). Оскільки для множини А k=3, то n(p(A))=2³=8.
У теорії множин розглядаються множини, які складаються з одних і тих самих елементів. Про такі множини говорять, що вони рівні.
Означення 1: дві множини А та В називаються рівними, якщо кожна із них є підмножиною іншої, тобто: якщо АÌВ і ВÌА, то А=В.
Означення 2: якщо множини складаються з одних і тих самих елементів, то вони називаються рівними.
Означення 3: якщо кожен елемент множини А є елементом множини В і, навпаки, кожен елемент множини В є елементом множини А, то такі множини називаються рівними.
Як довести, що множина А дорівнює множині В? – показати, що кожен елемент множини А є елементом множини В, і, навпаки, кожен елемент множини В є елементом множини А, або показати, що кожна множина є підмножиною іншої, або показати, що множини складаються з одних і тих самих елементів.
Відношення між множинами (включення, рівності, перерізу) та їх позначення за допомогою кругів Л.Ейлера та діаграм Ейлера-Венна. Потужність множини. Рівнопотужні (еквівалентні) множини. Скінченні, нескінченні та зчисленні множини. Множини потужності континууму.
3. Ми розглянули означення рівності множин. За його допомогою між множинами можна задати відношення рівності. Які ж ще відношення можуть існувати між множинами? Виявляється, що це можуть бути відношення включення, перетину та рівності або тотожності. Для наочного зображення множин та відношень між ними використовуються спеціальні графічні зображення, на яких множини позначаються кругами або овалами. Такі круги прийнято називати кругами Л.Ейлера (див. малюнок № 1.2.). Якщо універсальну множину зображати прямокутником, а інші множини – кругами, то таке зображення має назву діаграм Ейлера-Венна (див. малюнок № 1.3.). На ньому зображено множину BÌAÌU. Відношення включення зображено на малюнку № 1.4., а відношення перетину – на малюнку № 1.5.
 |
Дата добавления: 2014-12-03; просмотров: 204; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав |