Поняття множини та її елементу, їхні позначення. Загальноприйняті позначення основних числових множин. Способи задання множин.

1. Якщо у повсякденному житті термін „множина” пов’язується, як правило, з великою кількістю предметів, то в математиці цим поняттям позначають різні множини незалежно від кількості елементів в них. Які ж множини розглядають в математиці? – ті, які містять один, два, три, тощо елементів, або навіть жодного елемента. У практичній діяльності термін «множина» має ряд синонімів: сукупність, колекція, клас, група, ансамбль. Хоча і в математиці існують синоніми для поняття «множина» (множина значень змінної – область визначення; множина двох рівнянь – система рівнянь тощо), але для математики важливо, щоб всі поняття трактувалися всіма однозначно. Саме тому виникає запитання «А що ж таке множина з точки зору математики?». Це поняття є одним із основних понять математики, але його означення не існує. Таким чином, поняття «множина» є, з одного боку, одним з основних понять математики, а з другого – неозначуваним, первісним. Сутність змісту цього поняття розкривається шляхом опису з допомогою конкретних прикладів. Отже, «множина» - це сукупність об’єктів певної природи, які можуть мати або не мати якусь спільну властивість. Поняття множини є основним поняттям спеціальної галузі математики - теорії множин. Теорія множин, як галузь математики, виникла в середині ХІХ століття. Її засновником вважають німецького математика Г.Кантора (1845-1918 рр.).

Множини прийнято позначати великими буквами латинського алфавіту: А, В, С,… Об’єкти, з яких складається множина, називають елементами множини. Їх прийнято позначати малими буквами латинського алфавіту: а, в, с, …, х, у або цими ж буквами з індексами. Якщо елемент а належить деякій множині М, то це позначають так: аÎМ, а якщо елемент в не належить множині А, то це позначають так: вÏА. Якщо деякі елементи належать множині А, то їх записують у фігурних дужках так: А={а, в, с, d}; В={в₁, в₂, в₃, в₄, в₅}.

Поняття множини широко використовують при вивченні різноманітних галузей математики. Деякі множини в математиці мають усталені, загальноприйняті позначення. Як відомо, множини можуть складатися із елементів будь-якої природи, зокрема із чисел. Такі множини прийнято називати числовими. Для деяких числових множин введені спеціальні позначення: множину натуральних чисел прийнято позначати буквою N={1, 2, 3, …, n, …}; множину цілих чисел позначають так: Z={0, ±1, ±2, ±3, … ±n, …}; множину раціональних чисел, яка складається із цілих чисел та додатних і від’ємних дробів прийнято позначати буквою Q; множину дійсних чисел, яка складається із множини раціональних та ірраціональних чисел позначають буквою R.

Задати множину означає: схарактеризувати її елементи так, щоб відносно кожного елемента можна було відразу встановити, належить він цій множині чи ні. Коли ж множина вважається заданою? – коли відносно будь-якого її елементу ми можемо твердити чи належить він множині чи ні. Як можна задати множину? – назвавши всі її елементи, тобто переліком. Задати множину переліком означає назвати чи записати всі її елементи, наприклад: М={1,2,3,4,5}. Що для цього слід зробити? – у фігурних дужках написати всі елементи множини, наприклад: А={а, в, с, d}, С={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}. Чи завжди зручний розглянутий спосіб задання множин? Коли він зручний, а коли не зручний? – коли множина має малу кількість елементів; коли множина має велику кількість елементів.

Множини також можна задавати за допомогою характеристичної властивості, наприклад: А={х/хÎR і х>0}. Задати множину описом або за допомогою характеристичної властивості означає вказати характеристичну властивість всіх елементів множини, наприклад: множину натуральних чисел, які менші числа 6, описом задають так: М={х¤хÎNÙх<6}. Яким способом завжди можна задати множину? – за допомогою характеристичної властивості. Скінченні множини легко задавати і переліком, і описом. Але частіше користуються способом переліку. Нескінченні множини здебільшого задають описом. Але в окремих випадках задають і переліком, наприклад: Р={х/хÎNÙх:2}, М={2, 4, 6, 8, ..., 2n,…}. Таким чином, існують два способи задання множин: описом або за допомогою характеристичної властивості та переліком.