Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Малюнок № 1.6. об’єднання множин АÈВ.




Читайте также:
  1. Визначення добутку на множині цілих невід’ємних чисел, його існування та єдиність. Операція множення та її основні властивості (закони).
  2. Визначення суми на множині цілих невід’ємних чисел, її існування та єдиність. Операція додавання та її основні властивості (закони).
  3. Відношення еквівалентності та порядку, їх властивості. Впорядковані множини. Зв'язок відношення еквівалентності з розбиттям множини на класи, що попарно не перетинаються.
  4. Відношення порядку на множині невід’ємних раціональних чисел.
  5. Властивості множини невід’ємних раціональних чисел.
  6. Діаграма № 2.7. Множина істинності еквіваленції предикатів.
  7. Діаграма № 5.1. Співвідношення між числовими множинами Q, Z, N.
  8. Елементи теорії множин
  9. Зчисленні множини
  10. Інтерпретація множини дійсних чисел

 

Операція об’єднання може поширюватись на три і більше множин. Вона підкоряється певним законам, серед яких є такі, справедливість яких випливає безпосередньо із означення об’єднання, та такі, які слід доводити. До законів (властивостей) об’єднання, справедливість яких легко обґрунтувати, виходячи із означення об’єднання множин, відносяться:

1. AÈÆ=A.

2. AÈU=U.

3. AÈA=A - закон ідемпотентності (незмінності).

До законів, які слід доводити одним із можливих способів (міркуваннями або за допомогою діаграм Ейлера-Венна) відноситься переставний або комутативний закон: AÈB=BÈA. Для його доведення використовуємо діаграми Ейлера-Венна. Намалюємо дві однакові діаграми, на лівій із яких зображатимемо ліву частину рівності, а на правій – праву. На лівій діаграмі заштрихуємо множину A горизонтальними штрихами, а множину B - вертикальними. Множина AÈB зображається тією частиною універсальної множини, де є або горизонтальні, або вертикальні штрихи. На правій діаграмі множину A заштрихуємо вертикальними штрихами, а множину В - горизонтальними. Множина BÈA зображається на правій діаграмі тією частиною універсальної множини, де є або вертикальні, або горизонтальні штрихи. Порівнюючи їх, бачимо, що множини AÈB і BÈA зображаються на них однаковими частинами універсальної множини, а тому можна стверджувати, що AÈB=BÈA. Закон доведено (див. малюнок № 1.7.).

 
 

 


АÈВ ВÈА

 

Малюнок № 1.7. Доведення переставного закону AÈB=BÈA.

 

Доведемо сполучний або асоціативний закон (AÈB)ÈС=AÈ(BÈС) за допомогою міркувань. Оскільки дві множини вважаються рівними, якщо кожен елемент першої множини є елементом другої і, навпаки, кожен елемент другої множини є елементом першої множини, то доведення складається з двох частин. У першій частині доведемо, що кожен елемент, що належить лівій частині асоціативного закону, є елементом і правої частини.

1. Нехай хÎ(AÈB)ÈС. Згідно означення об’єднання множин це означає, що: або 1) хÎ(AÈB), або 2) хÎС, або 3) хÎAÈB і хÎС. Якщо хÎAÈB, то або 1) хÎA, або 2) хÎB, або 3) хÎA і хÎB. Якщо хÎA, то, переходячи до правої частини закону, на основі означення об’єднання множин можна стверджувати, що хÎAÈ(BÈС). Якщо хÎB, то хÎBÈС, тобто хÎAÈ(BÈС). Якщо хÎA і хÎB, то хÎAÈ(BÈС). Якщо ж, нарешті, хÎС, то хÎ(BÈС), а тому хÎAÈ(BÈС). Таким чином ми показали, що будь-який елемент лівої частини рівності належить правій частині рівності. Оскільки елемент у лівій частині ми вибирали довільно, то наші міркування можна повторити для будь-якого елемента лівої частини. Отже, кожен елемент лівої частини рівності є елементом правої частини рівності. Перша частина теореми доведена.



2. Доведемо, що кожен елемент правої частини є елементом лівої. Нехай уÎAÈ(BÈС). Згідно означення об’єднання множин можливі такі випадки: або 1) уÎA, або 2) уÎBÈС, або 3) уÎA і уÎBÈС. Якщо уÎA, то уÎAÈB, а тому уÎ(AÈB)ÈС. Якщо уÎBÈС, то або 1) уÎB, або б) уÎС, або в) уÎB і уÎС. Якщо уÎB, то уÎAÈB тоді уÎ(AÈB)ÈС. Якщо уÎС, то уÎ(AÈB)ÈС. Якщо уÎB і уÎС, то уÎ(AÈB)ÈС. Аналогічно легко довести справедливість рівності у випадку, коли уÎA і уÎBÈС. Оскільки елемент у в правій частині ми вибрали довільно, то наші міркування можна повторити для кожного із елементів правої частини. Отже, кожен елемент правої частини є елементом лівої. Другу частину теореми доведено.



Таким чином, кожен елемент лівої частини є елементом правої частини і, навпаки. А тому, ліва і права частини рівності складаються з одних і тих самих елементів. А це означає, що (AÈB)ÈС=AÈ(BÈС). Закон доведено.

Приклад: утворити об’єднання множин А та В, якщо множина А={1,2,3,4,5}, а В={а,в,с}. AÈB={1,2,3,4,5,а,в,с}.

 


Дата добавления: 2014-12-03; просмотров: 20; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.01 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты