Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Дільники і кратні. Спільні дільники і спільні кратні. Найбільший спільний дільник (НСД) і найменше спільне кратне (НСК), їх властивості.




Читайте также:
  1. Види культурних норм та їх суспільне призначення
  2. Відношення еквівалентності та порядку, їх властивості. Впорядковані множини. Зв'язок відношення еквівалентності з розбиттям множини на класи, що попарно не перетинаються.
  3. Гідравлічні розподільники
  4. І)7) Найбільше і найменше значення ф-ції на замкненій області.
  5. Інформаційний пошук та спільне використання інформаційних ресурсів
  6. Культурно-суспільне життя
  7. Лекція 3. Держава, партії, громадські організації і суспільні рухі як політичні інституті
  8. МОВА ЯК СУСПІЛЬНЕ ЯВИЩЕ
  9. Мораль і політика: спільне та специфічне.

6.Розглянемо два натуральних числа а та b. Якщо а b, то говорять, що а кратне b.

Означення: якщо а b, то число а називається кратним до числа b.

Із означення відношення подільності відомо, що із а bÛa=b·c. Якщо записати за допомогою характеристичної властивості множину чисел, кратних числу а, то будемо мати множину {a, 2a, 3a, … na…}. У множині чисел, кратних даному числу а є найменше число і немає найбільшого. За допомогою терміна “кратне” задається відношення подільності. Нехай задано множини чисел, кратних числу 3 і числу 5, тобто А={3,6,9,…3n,…} і B={5,10,15,…5n,…}. Утворимо перетин цих множин AÇB={15,30,45,…15n,…}. Множина AÇB задає нам спільні кратні чисел 3 і 5.

Означення: Будь-яке число, кратне числам а1, а2, а3,…,аn називається спільним кратним цих чисел.

Означення: найменше із спільних кратних чисел а1, а2, а3,…аk називається найменшим спільним кратним цих чисел.

Найменше спільне кратне прийнято позначати так: НСК(а1, а2, а3,…аk) або К(а1, а2, а3,…аk). Розглянемо властивості НСК, сформулювавши відповідні теореми для випадку двох чисел.

Властивість 1: кожне спільне кратне даних чисел ділиться на їх найменше спільне кратне.

Доведення: для спрощення викладок доведення теореми проведемо для випадку двох чисел. Нехай НСК(a,b)=k і CK(a,b)=d. Доведемо, що d k. Доведення проведемо методом від супротивного, припустивши, що , тобто, згідно означення операції ділення з остачею виконуються умови: d=kq+r і 0£r<k. Звідси r=d-kq. Оскільки d є спільним кратним (СК) чисел a і b, то . Оскільки k=НСК(a,b), то . Оскільки r<k, a£ k, то r – ділиться на число, більше, ніж воно саме, тобто число r є спільним кратним чисел a і b. Отже, СК(a,b)=r. А це можливо тоді, коли d–k·q=0, r=0, а це суперечить припущенню, що . Отже, припущення хибне і теорема доведена.

Властивість 2: якщо НСК(a,b)=k, то для будь-якого сÎN НСК(ac,bc)=ck.

Ця теорема говорить, що будь-який спільний множник можна виносити за знак НСК. Ввівши в попередніх пунктах означення дільника даного числа, ми з’ясували, що кількість дільників є завжди скінченною, найменшим дільником будь-якого числа є 1, а відношення „число b є дільником числа а” є оберненим до відношення „число а кратне числу b”.



Означення: всяке число, на яке ділиться кожне із чисел а1, а2, а3…ак називається спільним дільником цих чисел.

Означення найбільший із спільних дільників чисел а123…ак називається найбільшим спільним дільником чисел а1, а2, а3…ак і позначається НСД(а123…ак) або Д(а123…ак).

Означення: числа а1, а2, а3…ак називаються взаємно простими, якщо їх найбільший спільний дільник дорівнює 1. .

Властивість 1: якщо , то НСК(a,b)=a, а НСД(a,b)=b.

Доведення: за умовою і , тобто СД(a,b)=b, оскільки a>b, то НСД(a,b)=b. За умовою , то число а є спільним кратним для чисел a і b. Оскільки a>b, то а=НСК(а, b). Теорема доведена.

Властивість 2: будь-який спільний дільник даних чисел є дільником їх спільного дільника.

Властивість 3: спільні дільники даних чисел можна виносити, як за знак найменшого спільного кратного, так і за знак найбільшого спільного дільника.

Властивість 4: найменше спільне кратне даних чисел дорівнює добутку цих чисел, поділеному на найбільший спільний дільник цих чисел, тобто: .

Справедливість властивостей 2-4 приймемо без доведення.


Дата добавления: 2014-12-03; просмотров: 104; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.008 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты