Доведення. Для доведення теореми використаємо означення рівносильних нерівностей

Для доведення теореми використаємо означення рівносильних нерівностей. Саме тому доведення складатиметься з двох частин. У першій слід показати, що кожен розв’язок нерівності (І) є розв’язком нерівності (ІІ), а в другій – що кожен розв’язок нерівності (ІІ) є розв’язком нерівності (І). Нехай Т₁ÌХ є множиною розв’язків нерівності (І), а Т₂ÌХ є множиною істинності нерівності (ІІ). Виберемо довільне х₀, яке належить множині Т₁ і підставимо його у нерівність (І). Тоді вона перетвориться в істинну числову нерівність f(х₀)>g(х₀).

За умовою теореми вираз j(x) визначений при всіх хÎХ, а оскільки х₀ÎТ₁ÌХ, то підставивши його у вираз j(x), ми одержимо числовий вираз j(х₀). Виконавши у цьому виразі відповідні дії, ми одержимо число. Оскільки f(х₀)>g(х₀) ‑ істинна числова нерівність, а j(х₀) - числовий вираз, визначений для всіх хÎХ, то на основі властивостей істинних числових нерівностей нерівність f(х₀)+j(х₀)>g(х₀)+j(х₀) - буде істинною числовою нерівністю. Отже, х₀ – розв’язок нерівності (ІІ).

Значення х₀ в множині Т₁ ми вибирали довільно, а тому наші міркування можна повторити відносно будь-якого хєТ₁. Істинну числову нерівність f(х₀)+j(х₀)>g(х₀)+j(х₀) ми можемо одержати із нерівності (ІІ), замінивши в ній х на х₀, а це означає, що х₀ є розв’язком нерівності (ІІ). Отже, наші міркування можна повторити для будь-якого х₀єТ₁. Це означає, що кожен розв’язок нерівності (І) є розв’язком нерівності (ІІ), тобто Т₁ÌТ₂. Таким чином, першу частину теореми доведено.

У другій частині доведемо, що кожен розв’язок нерівності (ІІ) є розв’язком нерівності (І). Нехай Т₁ÌХ є множиною розв’язків нерівності (І), а Т₂ÌХ є множиною істинності нерівності (ІІ). Виберемо довільне у₀, яке належить множині Т₂ і підставимо його у нерівність (ІІ). Тоді вона перетвориться в істинну числову нерівність f(у₀)+j(у₀)>g(у₀)+j(у₀). За умовою теореми вираз j(x) визначений при всіх хÎХ, а оскільки у₀ÎТ₂ÌХ, то підставивши його у вираз j(x), ми одержимо числовий вираз j(у₀). Виконавши у цьому виразі відповідні дії, ми одержимо число. Оскільки f(у₀)+j(у₀)>g(у₀)+j(у₀) ‑ істинна числова нерівність, а j(у₀) - числовий вираз, визначений для всіх хÎХ, то на основі властивостей істинних числових нерівностей нерівність f(у₀)>g(у₀) буде істинною числовою нерівністю.

Значення у₀ в множині Т₂ ми вибирали довільно, а тому наші міркування можна повторити відносно будь-якого хєТ₂. Істинну числову нерівність f(у₀)>g(у₀) ми можемо одержати із нерівності (І), замінивши в ній х на у₀, а це означає, що у₀ є розв’язком нерівності (І). Отже, наші міркування можна повторити для будь-якого у₀єТ₂. Це означає, що кожен розв’язок нерівності (ІІ) є розв’язком нерівності (І), тобто Т₂ÌТ₁. Таким чином, другу частину теореми доведено. У першій частині ми довели, що Т₁ÌТ₂, а другій, що Т₂ÌТ₁. Тоді на основі означення рівності множин Т₁=Т₂. Це означає, що кожен розв’язок нерівності (І) є розв’язком нерівності (ІІ). Таким чином, теорему доведено повністю, тобто нерівності (І) і (ІІ) рівносильні.

Теорема 2: якщо вираз j(х) визначений і набуває додатних значень при всіх хÎХ, то нерівність f(x)>g(x) (I) рівносильна нерівності f(x)·j(x)>g(x)·j(x) (III).

Доведення теореми 2 складатиметься з двох частин і проводиться аналогічно до доведення теореми 1 або теореми 3. Саме тому пропонуємо студентам довести цю теорему самостійно.

Теорема 3: Якщо вираз j(х) визначений і набуває від’ємних значень при всіх хÎХ, то нерівність f(x)>g(x) (I) рівносильна нерівності f(x)·j(x)<g(x)·j(x) (IV).