Квадратична функція, її властивості та графік.

5. Означення: функція виду y=ax²+bx+c, a,b,cєR, a≠0 називається квадратичною функцією.

Областю визначення квадратичної функції є множина всіх дійсних чисел, бо для знаходження значення функції за заданим значенням аргументу необхідно виконати дії додавання і множення, які в множині дійсних чисел завжди виконуються. Функція не відноситься ні до парних, ні до непарних, бо y(-x)=a(-x)²+b(-x)+c=ax²-bx+c=-(-ax²+bx-c), тобто не виконується жодна з рівностей f(-х)=f(х) чи f(-х)= -f(х).

Знайдемо проміжки монотонності функції, виділивши попередньо повний квадрат: . Якщо a>0, то функція спадає на проміжку , а зростає на . Якщо a<0, то функція зростає на проміжку , а спадає на . При a>0 функція має найменше значення , при . При a<0 функція має найбільше значення при , що дорівнює . Графіком функції є парабола, вітки якої при a>0 напрямлені вверх, а при a<0 – вниз. Множиною значень функції при a>0 є проміжок , а при a<0 - .

6*. Операції над функціями та графіками, перетворення графіків.

6*. У математиці досить часто доводиться розв’язувати питання про те, які ж операції можна виконувати над функціями, як при цьому зміниться область визначення D(f) функції, як побудувати графік нової функції. Для того, щоб знайти відповіді на поставлені запитання, розглянемо кілька нових понять.

Означення: сумою функцій f і g називають функцію f+g, яка визначена на множині D(f+g)=D(f)ÇD(g) та для якої виконується умова, що для будь-якого хєD(f+g) справедлива рівність [f+g](x)=f(x)+g(x).

Означення: добутком функцій f і g називають функцію f•g, яка визначена на множині D(f•g)=D(f)ÇD(g) та для якої виконується умова, що для будь-якого хєD(f•g) справедлива рівність f•g(x)=f(x)•g(x).

Для того, щоб одержати функції f+g чи f•g, якщо вони задані аналітично, слід додати чи помножити праві частини функцій. Проілюструємо це на конкретному прикладі.

Вправа:знайти суму та добуток даних функцій y₁=x³+3, хє[0;3] і у₂=3х+2, хє[0;6].