Розв’язання. У системі координат будуємо графіки двох функцій: у1=х і у2=│х│

У системі координат будуємо графіки двох функцій: у₁=х і у₂=│х│. Після цього слід відповідно до означення додати відповідні ординати. Щоб це було легше зробити, використаємо означення модуля. Отже, розглянемо два випадки: 1) х≥0; 2) х<0. У першому випадку у₁+у₂=х+х=2х. Це означає, що на проміжку [0;+∞) графіком суми функцій буде пряма у=2х. Якщо х<0, то у₁+у₂=х+(-х)=х-х=0. Це означає, що на проміжку (-∞;0) графіком суми функцій буде пряма у=0. Як відомо, це вісь абсцис. Таким чином, графік функції у=х+│х│ складається з двох променів із спільним початком в точці з координатами О(0;0). Міркуючи аналогічно, можна прийти до висновку, що графік функції у=х•│х│ також складатиметься з двох частин: при х≥0 маємо у₁•у₂=х•х=х²; при х<0 будемо мати у₁•у₂=х•(-х)= -х². Таким чином, при х≥0 графіком функції у=х•│х│ буде вітка параболи у=х², а при х<0 – вітка параболи у=-х². Пропонуємо студентам виконати відповідні побудови самостійно.

Цілком зрозуміло, що будувати графіки саме таким способом не завжди зручно. Саме тому в математиці сформульовані та доведені твердження, які надають можливість значно спростити відшукання відповіді на запитання: що ж будує графіком функції? Наприклад, як побудувати графік функції у=Af(ax+b)+B, де A, B, a, b – сталі, причому А≠0 і а≠0. Щоб дати відповідь на це запитання сформулюємо і приймемо без доведення наступні леми та наслідки з них.

Лема 1: графік функції g(x), що визначається рівністю g(x)=f(x-α)+β, де (x-α)єD(f), а α і β – сталі, утворюється з графіка функції f паралельним перенесенням, при якому початок координат О(0;0) переходить в точку О′(α;β).

Звернемо увагу на те, що при практичному використанні леми 1 діють інакше: через точку О′(α;β) проводять допоміжні осі координат О′х′ і О′у′. У системі координат х′О′у′ будують графік у′=f(х′). Цей графік відносно системи координат хОу і є графіком функції g(x)=f(x-α)+β.

Лема 2: графік функції , де , а - сталі, утворюється з графіка функції f розтягом від осі абсцис з коефіцієнтом і наступним розтягом від осі ординат з коефіцієнтом k.

Із лем 1 і 2 випливають наступні наслідки.

Наслідок 1: графік функції g, що визначається рівністю де , утворюється з графіка функції f перетворенням симетрії відносно осі абсцис.

Наслідок 2: графік функції g, що визначається рівністю дн , утворюється з графіка функції f перетворенням симетрії відносно осі ординат.

Наслідок 3: графік функції g, що визначається рівністю де , утворюється з графіка функції f перетворенням симетрії відносно початку координат, тобто послідовного виконання перетворень симетрії відносно осей координат.

Користуючись лемами 1 і 2 та наслідками, розглянемо алгоритм побудови графіка функції , якщо відомо графік функції . Для цього перетворимо функцію: у виразі ах+b винесемо за дужки число а, тоді отримаємо . Позначимо , а тоді у=Аf(a(x-α))+B. Отже, щоб побудувати графік функції за графіком функції потрібно:

1) перетворити задану функцію до вигляду лем 1 і 2, тобто до виду у=Аf(a(x-α))+B;

2) у системі координат хОу через точку проводимо допоміжні осі координат і ;

3) у системі координат будуємо графік функції як результат розтягу графіка функції від осі абсцис з коефіцієнтом А і наступного розтягу від осі ординат з коефіцієнтом . Побудований графік є шуканим. Проілюструємо сказане на наступних прикладах.

Вправа 1: побудувати графік функції .