Основні методи геометричних побудов (метод ГМТ, методи осьової та центральної симетрії, метод паралельного перенесення, метод гомотетії, алгебраїчний метод).

3. Разом з тим зазначимо, що в математиці існують наступні основні методи геометричних побудов:

Метод геометричних місць точок.

Для розуміння його сутності спочатку розглянемо основні поняття, що відносяться до нього. Як відомо, геометричним місцем точок (у подальшому ГМТ) називається фігура, яка складається з усіх точок площини, які мають одну і ту саму певну властивість, і тільки з таких саме точок. З шкільного курсу геометрії Вам повинні бути відомими такі ГМТ площини: а) коло (0;r) – це ГМТ площини, рівновіддалених від однієї точки цієї площини, яка називається центром кола; б) круг (0;r) – це ГМТ площини, які знаходяться на відстані не більшій за вказану від однієї точки площини, що називається центром круга; в) серединний перпендикуляр до відрізка – це ГМТ площини, рівновіддалених від кінців цього відрізка; г) ГМТ площини, рівновіддалених від двох даних у цій площині паралельних прямих, - це пряма, яка є їх віссю симетрії; д) ГМТ площини, рівновіддалених від сторін кута – це бісектриса кута; е) ГМТП, рівновіддалених від двох даних у цій площині прямих, що перетинаються, - це дві взаємно перпендикулярні прямі, які є бісектрисами кутів, утворених даними прямими; є) ГМТП, з яких даний відрізок видно у цій площині під прямим кутом, - це коло, що має цей відрізок своїм діаметром тощо. У чому суть розв’язання задачі МГМТ? - відкидаючи одну з умов задачі, будують ГМТ, яке задовольняє другу умову. Потім відкидають другу умову і будують ГМТП, яке задовольняє першу умову. Нарешті, шукають перетин першого та другого ГМТ, що і буде розв’язком задачі.

Метод симетрії відносно прямої.

Означення: дві точки М і М′ називаються симетричними відносно прямої р, якщо р перпендикулярна ММ′ і проходить через його середину. Кожна точка прямої р симетрична сама собі.

Означення: Симетрією площини відносно прямої р називається перетворення площини, при якому будь-яка точка площини відображається на точку симетричну їй відносно прямої р.

Осьову симетрію з віссю р позначають S(р), а запис р(М)=М′ читають так: образом точки М при осьовій симетрії з віссю р є точка М′. Осьова симетрія задається або віссю симетрії, або однією парою відповідних точок, або двома різними подвійними точками. При осьовій симетрії образом прямої є пряма; образом паралельних прямих є паралельні прямі; образом відрізка є рівний йому відрізок; образом променя - промінь; образом кута – рівний йому кут; образом півплощини – півплощина. Крім того, всі симетричні фігури рівні між собою, але мають протилежну орієнтацію.

Суть розв’язування задач на побудову методом осьової симетрії полягає в тому, що разом з шуканими фігурами розглядаються фігури, симетричні деяким з них або їхнім частинам відносно довільно вибраної осі. При вдалому виборі фігури і осі, розв’язання задачі може значно полегшитися, бо виникає або нова більш проста задача, розв’язання якої відоме, або виконана симетрія дає безпосередньо шуканий розв’язок. До яких задач застосовують цей метод розв’язування? - з визначення положення фігур, для встановлення форми фігури, для відшукання найбільших і найменших значень величин тощо.

Метод повороту площини навколо точки.

Означення: поворотом площини навколо даної точки на орієнтований кут α називається таке перетворення, при якому кожній точці А відповідає така точка А′ цієї ж площини так, що: 1) АО=ОА′; 2) кут АОА′=α і однаково з ним орієнтований. Точку О називають центром повороту, а кут α – кутом повороту.

Для позначення повороту використовують символ Rª_О, а тому символічні записи А′=Rª_О(A) і А′B′=Rª_О(AВ) читають відповідно так: образом точки А у перетворенні повороту навколо точки О на кут α є точка А′; образом відрізка АВ у перетворенні повороту навколо точки О на кут α є відрізок А′В′. Поворот вважається повністю визначеним, коли відомо т. О і кут α, або коли відомо точки О, А і А′, або коли відомо дві пари відповідних точок. Кут α може набувати додатних значень (коли поворот здійснюється проти руху годинникової стрілки) і від’ємних (коли поворот здійснюється за рухом годинникової стрілки) в межах 0º≤α≤360º.

Які ж є властивості повороту? - незмінною точкою повороту є т. О; образом будь–якої прямої є пряма; образом відрізка є рівний йому відрізок; відповідні фігури при повороті рівні між собою і мають однакову орієнтацію; образом променя при повороті є промінь; образом кута – рівний йому кут; образом півплощини – півплощина; образом паралельних прямих – паралельні прямі.

Коли застосовують метод повороту до розв’язання задач на побудову? - коли у фігурі відомо кут з вершиною і є хоча б два рівні відрізки, зокрема: при побудові правильних і рівнобедрених трикутників, квадратів і правильних многогранників. Суть цього методу полягає в тому, що повертають дану чи шукану фігуру, або її елементи на деякий доцільно вибраний кут навколо вибраного центра і зводять розв’язання даної задачі до побудови допоміжної простішої фігури, а потім виконують обернений поворот і дістають шукану фігуру. Центр і кут повороту обирають так, щоб рівні елементи сумістилися або утворили простішу фігуру. При розв’язанні деяких задач доцільно застосовувати кілька поворотів навколо різних центрів.

Метод симетрії відносно даної точки.

Означення: Симетрією відносно точки О називається поворот навколо неї на 180º. Точка О - центр симетрії.

Які ж властивості центральної симетрії? –незмінною точкою при ЦС є точка О; образом будь-якої прямої є паралельна пряма; незмінними прямими є всі прямі, що проходять через центр симетрії; образом відрізка є відрізок, який рівний і паралельний даному; всі центрально-симетричні фігури рівні між собою і не змінюють своєї орієнтації; при ЦС промінь відображається в промінь, кут - у рівний йому кут, півплощина – у півплощину, паралельні прямі - у паралельні прямі, крива у криву.

Суть методу ЦС полягає в тому, що поряд із даними і шуканими фігурами розглядають фігури, симетричні даним або шуканим, або їхнім елементам відносно довільно вибраного центра. Внаслідок цих перетворень встановлюються зв’язки між даними і шуканими елементами, що зводить задачу до відомої. Коли ж використовують метод ЦС? – коли серед даних або шуканих елементів є відрізок, середина якого відома; для побудови паралелограмів або інших фігур, що мають центр симетрії; до побудови фігур на основі зроблених припущень.

Метод паралельного перенесення.

Означення: паралельним перенесенням або перенесенням на вектор ā називається таке перетворення площини, при якому будь-яка точка А відображається на таку точку А', що ĀĀ'= ā.

Для того, щоб паралельне перенесення було повністю визначеним, слід задати або вектор ā, або одну пару відповідних точок. Властивостями ПП є наступні: образом будь–якої прямої є паралельна їй пряма; незмінними прямими є всі прямі паралельні ā; образом відрізка є відрізок рівний і паралельний йому; відповідні фігури рівні і мають однакову орієнтацію; при ПП промінь відображається в промінь, кут – у рівний йому кут, півплощина - у півплощину, паралельні прямі - у паралельні прямі.

Коли ж застосовують метод ПП? – коли слід об’єднати розрізані частини шуканої фігури; при розв’язанні задач на многокутники загального виду. Вибір частини фігури, яку треба перенести, і пари відповідних точок, що характеризують здійснюване перенесення, спирається на конкретну умову задачі і виділяє допоміжну фігуру, яку можна побудувати. Потім для знаходження шуканої фігури виконують паралельне перенесення. При розв’язанні задач методом ПП іноді доводиться виконувати кілька ПП.

Таким чином, суть методу ПП полягає в тому, що разом з даними та шуканими фігурами розглядаються їхні образи при доцільно вибраному ПП, яке може стосуватися або всієї фігури, або окремих її частин. Дана задача зводиться до допоміжної задачі, розв’язання якої відоме.

Метод гомотетії.

Означення: Гомотетією з центром О і коефіцієнтом k називається таке перетворення площини, при якому образом довільної точки А є така точка А', що ОА'=kОА. Точки А і А' називаються гомотетичними.

Гомотетія повністю визначається заданням центра О і коефіцієнта k та має наступні властивості: якщо k>0, то точки А і А' лежать на прямій ОА по один бік від т. О, а якщо k<0, то - по різні сторони від т. О; незмінними прямими при гомотетії є всі прямі, що проходять через центр; гомотетія зберігає колінеарність точок; пряма відображається на паралельну пряму; якщо гомотетія відображає точки А і В відповідно у точки А' і В', то А'В'=kАВ, тобто вона є перетворенням подібності; гомотетичні фігури подібні.

Як же використовувати цей метод при розв’язанні задач на побудову? – по-перше, відкидають одну із умов, яка характеризує розміри шуканої фігури і будують фігуру, подібну до шуканої; по-друге, побудована допоміжна фігура перетворюється на подібну до неї так, щоб після перетворення використовувалася і раніше відкинута умова.

Отже, суть методу гомотетії полягає в тому, що крім даних і шуканих фігур розглядають ще допоміжні фігури, утворені із цих фігур або їхніх елементів за допомогою доцільно вибраної подібності (гомотетії). Внаслідок подібних перетворень встановлюються зв’язки між даними і шуканими елементами, які приводять: а) до безпосереднього розв’язання задачі; б) до допоміжної відомої задачі.

Алгебраїчний метод.

Під алгебраїчним методом розуміють сукупність прийомів, щодо використання чисел, алгебраїчних дій, формул і рівнянь для розв’язання задачі на побудову. Умова задачі, залежність між даними і шуканими величинами виражається аналітично з допомогою формул і рівнянь. Схема розв’язання задачі на побудову цим методом має вигляд: 1) складання рівняння; 2) розв’язання рівняння; 3) дослідження добутих розв’язків (формул) на можливість побудови їх циркулем і лінійкою; 4) побудова шуканих відрізків і побудова шуканої фігури.