Поняття довжини відрізка та способів його вимірювання. Основні властивості довжини. Одиниці вимірювання довжини та співвідношення між ними.

2. Розглянувши означення та аксіоми вимірювання величин, перейдемо до виявлення сутності поняття “довжина відрізка”. Оскільки довжина є однією із адитивно-скалярних величин, то можна виявити сутність цього поняття та процесу її вимірювання, спираючись на визначення цієї операції для величин. Сутність вимірювання довжини (відшукання міри) відрізка полягає у послідовному відкладанні одиничного відрізка або його частини на даному відрізку. При цьому можливі, так само і як для будь-яких величин, два випадки:

1) процес вимірювання скінченний, бо одиничний відрізок або його частина вміщується у даному відрізку ціле число разів. В такому випадку відрізки сумірні, а довжина розглядуваного відрізка виражається невід’ємним раціональним числом;

2) процес відкладання одиничного відрізка чи його частини нескінченний. У цьому випадку відрізки несумірні, а результат вимірювання виражається невід’ємним ірраціональним числом.

Враховуючи вищесказане та означення поняття системи вимірювання, приймемо означення поняття “довжина відрізка”. Розглянемо множину відрізків S={а, b, с,...}.

Означення: довжиною відрізка називається невід’ємна скалярна величина, яка характеризує властивість лінійної протяжності та визначена для кожного відрізка так, що виконуються наступні аксіоми:

1. У множині S існує нульовий відрізок 0 такий, що m(0)=0 (символічно ця аксіома запишеться так: ([($0єS)(m(0)=0)]).

2. У множині S існує одиничний відрізок е такий, що m(е)=1, яким можна виміряти довжину будь-якого відрізка (символічно ця аксіома запишеться так: ([($еєS)(m(е)=1)]).

3. Рівні відрізки мають рівні довжини (символічно ця аксіома запишеться так: ([("а,bєS)((a=b)↔ (m_е(a)=m_е(b))]).

4. Якщо відрізок а складається із скінченного числа відрізків b₁, b₂, b₃,...b_k, які прилягають один до одного кінцями, то довжина відрізка а дорівнює сумі довжин відрізків b₁+b₂+b₃+...+b_k (символічно: [("а,b₁,b₂,b₃,...b_kєS)((a=b₁+b₂+b₃+...+b_k)↔(m_е(a)=m_е(b₁)+m_е(b₂)+m_е(b₃)+...+m_е(b_k))]).

5. (аксіома Архімеда) яким би великим не був відрізок а із множини S і яким би малим не був відрізок b із цієї ж множини завжди знайдеться натуральне число n таке, що відрізок а менший за відрізок n×b (символічно: [("а,bєS)($nєN)((а<n×b)↔ (m_е(а)< n×m_е(b))]).

6. (аксіома Кантора): нехай на довільній прямій МК дано нескінченну послідовність відрізків А₁В₁, А₂В₂, А₃В₃,...А_nB_n,... таку, що: 1) кожний наступний відрізок є частиною попереднього; 2) для будь-якого наперед заданого відрізка CD знайдеться натуральне число n таке, що А_nВ_n<CD. Тоді на прямій МК існує єдина точка Р, що належить усім відрізкам послідовності.

Аксіоми Архімеда та Кантора дають змогу повністю обґрунтувати теорію вимірювання довжин відрізків. На основі аксіоми Архімеда кожному відрізку аєS при вибраній одиниці довжини е можна поставити у відповідність певне невід’ємне дійсне число, яке є його довжиною. Відповідно до аксіоми Кантора можна зробити висновок про те, що і у випадку нескінченного процесу вимірювання, існує невід’ємне дійсне число, яке є його довжиною. Таким чином, вказані аксіоми дають можливість довести наступне твердження “між множиною відрізків і множиною невід’ємних дійсних чисел існує взаємно однозначна відповідність”.

Основою встановлення системи вимірювання довжин відрізків, як і інших величин, є вибір зручних, чітко визначених одиниць вимірювання та точність виготовлення еталонів цих одиниць. У ХУІІІ столітті у Франції була створена нова система одиниць вимірювання, яка стала основою при створенні міжнародної системи одиниць вимірювання величин “SI”. У цій системі основною одиницею довжини є 1 м, який дорівнює ¹/_40000000 частині довжини земного меридіана, що проходить через Париж. З 1960 року під метром розуміють відстань, яку проходить у вакуумі плоска електромагнітна хвиля за ¹/_299792458 частину секунди. Таке означення одиниці довжини 1 м дає більшу точність і не залежить від природних умов її визначення. Еталон одного метра виготовлений із сплаву платини (90%) та іридію (10%) у вигляді лінійки з нанесеними штрихами. Він зберігається у Міжнародному бюро міри і ваги Національного архіву Франції. Метричною системою мір у 1875 році користувалося лише 17 країн, а нині – понад 60. В Україні метрична система мір була введена у 1925 році. Крім основної одиниці вимірювання довжини 1 м існують похідні: 1 мм=0,001 м, 1 см=10 мм=0,01 м, 1 дм=10 см=0,1 м, 1 км=1000 м.

У минулому та нині використовуються й інші одиниці вимірювання довжини, з якими можна познайомити молодших школярів. Прикладом таких величин є наступні: 1 миля (7,468 км – стара російська миля; 1,853 км – англійська морська миля; 1,609 км – американська сухопутна миля; російська миля – 7 верств), 1 верства=500 сажнів=1,0668 км, 1 сажень=3 аршини=7 футів=2,1336 м, 1 маховий сажень=1,76 м, 1 косий сажень=2,48 м, 1 аршин=16 вершків=71,12 см, 1 фут (довжина ступні)=12 дюймів=0,3048 м, 1 дюйм (довжина суглоба великого пальця)=¹/₁₂ фута=2,54 см, 1 вершок (довжина фаланги вказівного пальця)=1³/₄ дюйма=4,45 см.