Малюнок № 7.11. Фігури Ф і F.

У наведених нами міркуваннях і означеннях застосовується термін “площа”, але його визначення відсутнє. Визначаючи поняття довжини, ми використовували її для характеристики лінійної протяжності. Поняття площі будемо використовувати для характеристики квадровності геометричних фігур. Так само, як і для довжини використаємо аксіоматичний підхід до введення поняття площі.

Означення: площею фігури називається невід’ємна скалярна величина, яка характеризує міру квадровності фігури та визначена для кожної фігури так, що виконуються наступні аксіоми:

1. У множині М геометричних фігур існує нульовий квадрат k₀ такий, що m(k₀)=0 (символічно ця аксіома запишеться так: ([($k₀єМ)(m(k₀)=0)]).

2. У множині М існує одиничний квадрат k такий, що m(k)=1, яким можна виміряти площу будь-якої фігури (символічно ця аксіома запишеться так: ([($kєМ)(m(k)=1)]).

3. Рівні фігури мають рівні площі (символічно ця аксіома запишеться так: ([("F,GєM)((F=G)↔ (m_k(F)=m_k(G))]).

4. Якщо фігура F складається із скінченного числа фігур F₁, F₂, F₃,...F_n, які не мають спільних внутрішніх точок, то площа фігури Fдорівнює сумі площ фігур F₁,F₂,F₃,...F_n (символічно: [("F,F₁,F₂,F₃,...,F_nєM)((F=F₁+F₂+F₃+...+F_n)↔ (m_k(F)=m_k(F₁)+m_k(F₂)+m_k(F₃)+...+m_k(F_n))]).

Для того, щоб виміряти площу фігур Ф і F, слід підрахувати число квадратів певного рангу. На практиці для цього використовують палетку, яка являє собою прозору плівку розбиту на одиничні квадрати. Поклавши палетку на геометричну фігуру, підраховуємо число квадратів та визначаємо площу. Так само, як і при безпосередньому вимірюванні довжини, процес підрахунку може бути або скінченним, або нескіченним. У першому випадку міра площі виражатиметься невід’ємним раціональним числом, а в другому – невід’ємним ірраціональним числом. Цілком зрозуміло, що щоразу визначати площу геометричної фігури безпосереднім підрахунком числа квадратів певного рангу дуже незручно, а тому в математиці для визначення площі певних геометричних фігур вивели формули для знаходження площі. Перед тим, як познайомитися з цими формулами, розглянемо кілька потрібних для їх виведення понять.

Означення: два многокутника називаються рівновеликими, якщо вони мають рівні площі.

Зазначимо, що рівновеликі многокутники не завжди рівні, наприклад: маємо два прямокутники із сторонами 2 см і 6 см та 3 см і 4 см. Хоча площі обох многокутників дорівнюють 12 см², але вони не рівні. Розглянемо питання про те, чи можна за допомогою перетворення многокутників встановити їхню рівновеликість. Виявляється, що це завдання розв’язується позитивно. Таким геометричним еквівалентом є поняття рівноскладеності геометричних фігур.

Означення: два многокутника називаються рівноскладеними, якщо їх можна розкласти на одне й те саме число попарно рівних многокутників.

З’ясуємо, які властивості має відношення рівноскладеності. Оскільки кожний многокутник рівноскладений сам з собою, то відношення рівноскладеності рефлексивне. Якщо многокутник М₁ рівноскладений многокутнику М₂, то і многокутник М₂ рівноскладений з многокутником М₁. Отже, відношення рівноскладеності має властивість симетричності. Якщо многокутник М₁ рівноскладений з многокутником М₂, а многокутник М₂ рівноскладений з многокутником М₃, то многокутники М₁ і М₃ – рівноскладені. Отже, відношення рівноскладеності транзитивне. Таким чином, відношення рівноскладеності на множині многокутників є відношенням типу еквівалентності, бо має властивості рефлексивності, симетричності та транзитивності. За допомогою цього відношення множина всіх многокутників розбивається на класи еквівалентності, до кожного із яких відносяться рівноскладені між собою многокутники. Виявляється, що між відношеннями рівновеликості та рівноскладеності многокутників існує зв’язок, який зафіксовано в наступних теоремах.

Теорема 1: будь-які два рівноскладені многокутники рівновеликі.

Доведення:

Розглянемо два рівноскладені многокутники М і К. Відповідно до означення вони розкладуться на однакове число попарно рівних частин: М=М₁+М₂+М₃+...+М_n і К=К₁+К₂+К₃+...+К_n. Знайдемо площі многокутників М і К. S(М)=S(М₁)+S(М₂)+S(М₃)+...+S(М_n) і S(К)=S(К₁)+S(К₂)+S(К₃)+...+S(К_n). Оскільки многокутники М₁, М₂, М₃,...,М_n і К₁, К₂, К₃,...,К_n попарно рівні, то S(М₁), S(М₂), S(М₃),...,S(М_n) і S(К₁), S(К₂), S(К₃),...,S(К_n) – попарно однакові, а тому S(М)=S(К). Теорему доведено.

Теорема 2: будь-які два рівновеликі многокутники рівноскладені.

Доведення цієї теореми опустимо, бо воно аналогічне до попередньої. Зазначимо, що обидві теореми можна об’єднати в одну: “Для того, щоб будь-які два многокутники були рівновеликими, необхідно і достатньо, щоб вони були рівноскладеними”. Доведені і сформульовані теореми нададуть можливість значно спростити обґрунтування формул для обчислення площ окремих видів многокутників.

Оскільки основною одиницею вимірювання довжини у системі “SI” є 1 м, то основною одиницею вимірювання площі є 1 кв. м або 1 м². Похідними одиницями вимірювання площі є наступні одиниці: 1 кв. дм (дм²)=0,01 м²=100 см²; 1 кв. см (см²)=0,0001 м²=100 мм²; 1 кв. мм (мм²)=0,000001 м²; 1 квадратний декаметр або 1 ар (а)=100 м²=0,01 га; 1 квадратний гектометр або 1 гектар (га)=10000 м²; 1 кв. км (км²)=1000000 м². Аналогічно можна ввести позначення старовинних мір площі та встановити їхні співвідношення із сучасними мірами площі.