Малюнок № 7.13.

Нехай АВС (мал. №19) – прямокутний трикутник (ÐАСВ=90°), де m_е(АС)=а і m_е(СВ)=b. Добудуємо його до прямокутника, провівши через вершини А і В прямі, паралельні відповідно сторонам СВ і АС. Одержимо прямокутник АДВС, площа якого відповідно до попередньої теореми дорівнюватиме а×b. Оскільки DАДВ=DАВС, то 2S(DАВС)=S(АДВC). Отже, S(DАВС)=¹/₂S(АДВC)=¹/₂а×b. Теорему доведено.

Теорема 5: Площу будь-якого трикутника можна обчислювати за формулами: 1) S=¹/₂аh, де а – довжина основи, h – довжина висоти, опущеної на сторону а; 2) S=¹/₂аbsing, де а і b – довжини суміжних сторін трикутника, g - величина кута між цими сторонами; 3) S=Ö(p(p-a)(p-b)(p-c)), де а, b і с – довжини сторін трикутника, p=¹/₂(а+b+c).

Доведення:

Розглянемо трикутник АВС (див. мал. № 7.14.). Опустимо з вершини В висоту на сторону АС. Трикутник АВС розіб’ється на два прямокутних трикутника АВД і ВСД. Відповідно до аксіом площі S(DАВC)=S(DАВД)+S(DВСД).

Відповідно до попередньої теореми S(DАВД)=¹/₂АД×ВД, S(DВСД)=¹/₂СД×ВД. Тоді S(DАВС)= ¹/₂АД×ВД+¹/₂СД×ВД=¹/₂(АД+СД)×ВД=¹/₂СА×ВД. Якщо позначити сторону трикутника через а і висоту – через h, то матимемо S_D=¹/₂а×h. Першу формулу виведено.

Для виведення другої формули введемо такі позначення: АВ=с, ВС=а, АС=b, ÐВАС=a, ÐАВС=b і ÐВСА=g. Із трикутника АВД маємо: ВД:АВ=sina. Враховуючи наші позначення, маємо: S(DАВС)=¹/₂АС×ВД=¹/₂bсsina. Другу формулу виведено.

В

c а