Оценка достоверности коэффициента корреляции

Дата добавления: 2013-12-12; просмотров: 195; лекция была полезна: 1 студентам(у); не полезна: 0 студентам(у).

Пример 2. Определить тесноту взаимосвязи между результатами, показанными легкоатлетами в беге на 100 м, и местом, занятым ими же в соревновании по тройному прыжку. Данные приведены в табл.

Решение. При решении этой задачи лучше все вычисления постепенно заносить в таблицу.

1. Результаты в беге ранжируем, то есть располагаем их в порядке возрастания:

10,3; 10,4; 10,5; 10,6; 10,7; 10,7; 10,7; 10,7; 10,9.

Для тех результатов, которые повторяются несколько раз, ранг берем как среднее рангов этих результатов. Результат 10,7 повторяется четыре раза, занимая в ряду ранги 5, 6, 7, 8. Тогда

.

	10,7		6,5		1,5	2,25
	10,6		4,0		2,0	4,00
	10,7		6,5		0,5	0,25
	10,5		3,0		-1,0	1,00
	10,9		9,0		6,0	36,00
	10,4		2,0		-5,0	25,00
	10,3		1,0		-8,0	64,00
	10,7		6,5		-1,5	2,25
	10,7		6,5		5,5	30,25
S

Для ранг - это занятое место, поэтому , и 5-й столбец таблицы повторяет 3-й столбец.

2. Находим разность рангов: (предпоследний столбец).

3. Разность рангов возводим в квадрат и суммируем: .

4. Находим: .

5. Вывод: между исследуемыми признаками существует средне-выраженная отрицательная зависимость, показывающая, что при уменьшении признака (времени бега на 100 м) результат прыжка в длину увеличивается.

Полученные в примерах коэффициенты корреляции являются выборочными, так как они определены для выборок из соответствующих генеральных совокупностей. Поэтому всегда существует ошибка коэффициента корреляции. Эта ошибка - расхождение между коэффициентом корреляции выборки объемом и коэффициентом корреляции для генеральной совокупности - определяется формулами:

при ; и при .

Оценка достоверности коэффициента линейной корреляции осуществляется с помощью -критерия Стьюдента:

.

В данном случае критерий служит для проверки нулевой гипотезы о том, что значение коэффициента корреляции для генеральной совокупности равно нулю, т.е. в генеральной совокупности отсутствует корреляция. Альтернативной является гипотеза .

Критическое значение определяется по таблице Стьюдента. Число степеней свободы связано с объемом выборки формулой:

.

Если , то нуль-гипотеза отвергается, то есть вычисленный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля с вероятностью .

Пример 3. Коэффициент корреляции между показателями "Толчок штанги" и "Прыжок в высоту с места" для 13 тяжелоатлетов равен 0,855. Требуется оценить достоверность коэффициента корреляции.

Решение. Так как , то для вычисления расчетное значение критерия Стьюдента пользуемся формулой:

.

Задаемся уровнем значимости коэффициента корреляции (вероятность ошибки): . По формуле находим число степеней свободы:

.

Из таблицы критических значений распределения Стьюдента следует:

.

То есть (5,48>4,437). Следовательно, связь между показателями, выраженная коэффициентом корреляции, статистически значима с вероятностью 0,999.