Тема 8. Показатели вариации

Среднее линейное отклонение – на сколько в среднем отлича

индивидуальные знач признака от ср его знач.

-для несгруппированных данных

(первичного ряда):

-для вариационного ряда:

Среднее квадратическое отклонение

- для несгруппированных данных:

- для вариационного ряда:

Дисперсия

- для несгруппированных данных:

- для вариац-го ряда:

Коэффициент вариации (использ для характ однородности

совокуппо исследуемому признаку)

до 17% – совок совершенно однор,

17%-33% - достаточно однородна, >33% - неоднородна.

8.14. На основ выписки, рассчит: размах вариации, среденее лин.отклон,

дисперсию, ср.квадратич отклон.,коэф.вариации.

Решение.

1)R=Xmax – Xmin = 35-10=25

2)Xср = ∑x_i/n = 360/18=20

Среднее лин.отклон. Lср = ∑(Xi – Xср) / n = 0+7+6+5+3+..+15+1+6+0+6+10 / 18

3)σ² = ∑(Xi – Xcp)² / n = 49+36+25+9+64+49+4+49+100+9+225+1+36+36+100 / 18

4)σ= √σ²= 6,46

5)Vσ= σ/Xcp * 100% = 6,46/20 *100% = 32,3%

8.17. Для опред нормы затрат времени на выполнение 1банковской опер было

проведено обслед, результ кот представл ниже.

Вычислите абсолютные и относительные(%) показатели вариации.

1)Xcp = ∑Xi*fi / ∑fi = 21*6+23*13+25*22...+33*6 / 6+13+22+36+10+7+6

R=Xmax – Xmin =34-20=14 Dвзв ср = ∑│Xi - Xcp│*fi / ∑fi = (21-26,52)*6….

Итд.=5,52*6+3,52*13+1,52*22+…+1,48*6 / 100 = 224,64/100 = 2,2464

σ² = ∑(Xi – Xcp)² *fi / ∑fi = 182,8224+161,0752+50,8288 +8,2944+61,504+

140,4928+251,9424 / 100 = 856,96 / 100 = 8,5696

σ=√σ²=2,93

V_R= R/Xcp *100% = 14/26,52 *100% = 52,79%

Vd_cp=dcp/Xcp *100% = 2,2464/26,52 *100% = 8,5%

Vσ= σ/Xcp *100% = 11% => <33% (см теор)

Совокупность по данному признаку можно считать однородной.

8.22. Вычислите дисперсию, еслиизвестно, что средняя величина признака

составляет 150 руб.,а коэф вариации = 15%.

Vσ= σ/Xcp *100%

σ²= (Xcp*Vσ / 100%)²= (150*0,15)²= 506,25

8.23. Ср.квадрат индивидуальных значений признака – 625, а его

дисперсия – 400. Определите величину средней. Х²ср = Х²ср– Хср²

Хср = √( Х²ср- Х²ср) = =15

8.24. Определите ср.величину, если известно,что коэффициент вариации

составляет 30%, а дисперсия признака – 800.

Хср = σ/Vσ * 100% = √σ² / Vσ *100% = 28,28/30 *100% = 94,28

8.25. Ср.квадратичное отклонение = 25, а ср.величина в совокупности – 15.

Определите ср.квадрат индивидуальных значений этого признака.

σ²= Х²ср – Хср²

Х²ср = 25²+15²=625+225 = 850

8.28. В результате обследования работы банков получено следующее

распределение по доходности активов.

Рассчитайте дисперсии:

А) внутригрупповые;

Б) среднюю из внутригрупповых;

В) межгрупповую;

Г) общую, используя правило сложения дисперсий.

Определите эмпирическое корреляционное отношение. Сделайте выводы.

1) Хобщ ср= (12,5*10+17,5*15 +22,5*20+27,5*40+32,5*10+32,5*10+37,5*5)

/ 100 = 2450/100=24,5

σ²= Х²ср – Хср²= 641,25 – 24,5²=41,0

σ=√41=6,403%

Vσ= σ/Xcp *100% = 6,403/24,5 *100%=26,1%

2) Xcp = 27,5*40+32,5*10+37.5*5 / 40+10+5 = 1612,5/55 = 29,32

σ²= Х²ср – Хср²

σ²= 869,87 – (29,32)²= 869,87-859,66 = 10,21

σ=√σ²= √10,21 = 3,195%

Vσ= σ/Xcp *100%= 3,195/29,32 *100% = 10,9%

3) межгрупповая дисперсия

σ_х²= ∑(Хy ср общ – Х₀ ср)²n_y / ∑n_y = (18,64-24,5)²*45 + (29,32 – 24,5)²*55 =

2838,396 / 100 = 28,384%

4) σcp²= ∑σ²_j*n_j / ∑n_y = (15,436)²*45 + (10,21)²*55 / 100 = 164,556

Общ дисперсия

σ₀²= σcp² + δ² = 164б556 + 28б384 = 192б94:

5) Оценка уровня и степени влияния группового признака на вариацию

σ₀²= ∑(Xj – X₀cp)² / n₀ = (12,5 – 24,5)² + (17,5 – 24,5)² + (22,5-24,5)² +

(27,5 – 24,5)² + (32,5 – 24,5)² + (37,5 – 24,5)² / 100 = 41%

9.36.Финансовые органы по способу механического бесповторного отбора

предполагают обследовать на предмет правильности уплаты подоходного

налога 100 малых предприятий. Предельная ошибка выборки не должна

превышать 0,5% при среднем квадратичном отклонении в 2%.

Решение: бесповторный мех.отбор

n=100

δ=0,02

∆=0,5%

N=1050

p=0,997

∆=t*μ t=3

μ =√δ²/n *(1-n/N)

μ =∆/t=0,0005/3=0,000167

0,000167=√0,0004/X*(1-x/1050)=0,000000027=(0,0004/x)*(1050-x/1050)

0,000000027=0,42-0,0004x\1050x

0,000000027=0,0004/x- 0,00000038

0,0004/x=0,000000407

x=982,801

0,00167≠√0,0004/100*(1-100/1050)=0,001902.

9.20.

По результатам 5%-ного выборочного обследования жилищных уел вий 200 семей

города обеспеченность населения жилой площадью х: рактеризуется следующими

данными (способ отбора - случайн-бесповторный ). .

Определите:

а) средний размер жилой площади на одного члена семьи;

б) ср квадрат отклон ср размера жилой площади;

В) среднюю ошибку выборки при установлении ср размер жилой площади;

г)предельную ошибку выборки при значении вероятности 0,954;

д)с той же вероятностью - пределы, в которых находится доля се мей,

имеющих размер жилой площади не более 9 м2на человека .

Решение: а)Xср.=4*5+20*6+8*44+10*50+12*16+14*27+16*13+

+18*10+20*9/200=10,83

б)σ²=∑(Xi-Xср.)/∑fi=15,69

в)средняя ошибка выборки

μ=√σ²/n*(1-n/N)=...=√0,07845*(1-0,05)=0,273

n/N=0,05(т.к. 5% воборка)

г)вероятность - 0,945 → t=2 →∆=tµ=2*0,283=0,546

д) 1: 160+120+180+125+140=725

2: 3301

3: 2128

4: 2520

5: 1990

6: 0

9.21. Методом случайной бесповторной выборки обследовали производи тельность

труда 120 рабочих, что составляет 5% численности персонв ла предприятия.

Получены следующие данные:

Определите:

а) среднюю дневную выработку одного рабочего;

б) среднюю ошибку выборки при определении производительности труда;

в) предельную ошибку выборки при вероятности 0,954.

№9.21

Решение:

9.43.Численность одной из двух случайных повторных выборок втрое, а

дисперсия в 1,4 раза меньше, чем другой. Определите, в каком состоянии н

аходятся средние ошибки выборки. Решение:

n1/n2=3

δ2 ²/δ1²=1,4 n1-x

n2=x/3

δ1²=y

δ2 ²=1,4y

μ=√δ²/n

μ1=√x/y=√x/3:1,4y

μ1=√x/3*1,4y=√3*1.4

В √3*1,4 раза ср.ошибка 2 больше 1.