Синтаксис языка предикатов первого порядка

Предикатом, или логической функцией, называется функция от любого числа аргументов, принимающая истинностные значения: И (истина – 1) и Л (ложь – 0). Аргументы принимают значения из произвольного, конечного или бесконечного множества D, называемого предметной областью. Предикат от п аргументов называют п-местным предикатом [3].

Предикат F(x), определенный на предметной области D, задает определенное свойство элементам множества D и интерпретируется как высказывание “х обладает свойством F”, причем F принимает значение И, если это высказывание истинно, и значение Л, если оно ложно. Предикат задает отношение между элементами и интерпретируется как высказывание “ находятся между собой в отношении F”. Пусть, например, D – множество натуральных чисел. Тогда предикат F(x) может обозначать, что “х – четное число" или “х – нечетное число”, а предикат G(x,y) – “х больше у” или “х делится на y” и т.д.

Алфавит языка предикатов первого порядка включает множество следующих символов:

• разделители: запятая, открывающая и закрывающая скобки;

• константы, обозначаемые строчными буквами или соединением таких букв, например “друг”;

• переменные, обозначаемые прописными буквами, например: X, АДРЕС;

• предикаты, обозначаемые прописными буквами, например: Р, Q, БОЛЬШЕ;

• функции, устанавливающие зависимость и отображающие значения одной предметной области в значения другой (или той же), n-местные функции могут служить аргументами предиката. Функции будем обозначать строчными буквами f, g;

• логические операции:

1) “ ” (отрицание или дополнение). Высказывание “ A” читается “не A”. Оно истинно (И), если высказывание А – ложно (Л);

2) “ ” (конъюнкция). Высказывание "А В" читается “А и B”. Оно истинно в том случае, когда истинно как A, так и B;

3) “ ” (дизъюнкция). Высказывание "А В" читается “А или B”. Оно истинно, если истинно хотя бы одно из высказываний;

4) “ ” (импликация). Высказывание “A B” читает­ся "если A, то B". Оно ложно в том и только в том случае, если A истинно, а B ложно;

5) “ ” (эквивалентность). Высказывание “А В” читается “A тогда и только тогда, когда B”. Оно истинно тогда и только тогда, когда A и B имеют одно и то же истинностное значение;

• кванторы:

6) “ ” (квантор существования). Высказывание A читается “существует A”;

7) “ ” (квантор общности). Высказывание A чита­ется “для любого A”.

Пропозициональной формой, илиформулой алгебры ло­гики, называют всякое высказывание, составленное из некото­рых исходных высказываний посредством логических опера­ций. Другими словами, если F и G – пропозициональные фор­мы, то F, (F G), (F G), (F G) и (F G) – пропозициональ­ные формы.

Определение формулы как основного объекта в логике предикатов включает понятие "терм".

Терм – выражение, включающее константы, перемен­ные или n-местные функции , где ­– термы. Нап­ример, вес(b) – термы.

Атом,или элементарная (атомная)формула, – это вы­ражение, включающее константы, переменные, функции и предикаты. Таким образом, если Р– N-местный предикат, а – термы, то – атом. Например, выражения P(X, зеленый), ABC являются атома­ми.

Формула, или правильно построенная формула, определяется следующим образом:

всякий атом есть ППФ;

если G и Н – ППФ, а Х – переменная, тогда

( H), (G H), (G H), ( X)G, ( X)H – ППФ.

Примерами ППФ являются:

Выражение "первого порядка" вофразе "исчисление предикатов первого порядка" связано с определением ППФ, в которых запрещается квантифицировать символы предикатов и функций. Например, не является ППФ логики предикатов первого порядка.

На практике ППФ используется для представления знаний. Например, ППФ может выражать "все матери есть женщины", условившись, что M(Х) означает: “X есть мать” и что F(X) означает: “Х – есть женщина”.

Правилом вывода называют процедуру, которая из одной или нескольких ППФ производит другие ППФ. Например, правило вывода: G и производит одну ППФ Н; из ППФ и любой константы “а” получают ППФ , при этом значения X в G заменяются на “а”. Исходные ППФ называют аксиомами, а ППФ, полученные из правил вывода, называют теоремами.