Нечеткие подмножества

Пусть E есть множество, A – подмножество E, т.е. А E. Принадлежность любого элемента x подмножеству A можно выразить с помощью функ­ции принадлежности , значения которой указывают, яв­ляется ли (да или нет) x элементом A:

, если ,

, если .

Предположим теперь, что характеристическая функция для элементов подмножества A может принимать не только значения 0 или 1, но и любое значение а [0,1], т.е. [0,1].

Математический объект, определяемый выражением , где – элемент универ­сального множества E, а число после вертикаль­ной черты – значение функции принадлежности для этого эле­мента, будем называть нечетким подмножест­вом множества E.

На рис. 4.1 приведено графическое представление нечеткого множества с помощью его функции принадлежности [3].

Рис. 4.1. Функция принадлежности

Строгое определение понятия нечеткого подмножества имеет следующий вид. Пусть E есть множество и x – элемент E. Тогда нечетким подмножеством A множества E называется множество упорядоченных пар

,

где – степень принадлежности x к A. Если принимает свои значения во множестве M значений функции принадлежности, то можно сказать, что x принимает значения в M посредством . Множество M называют множеством принадлежностей.

Операции над нечеткими множествами. Рассмотрим различные операции теории обычных множеств применитель­но к нечетким подмножествам, а также введем новые операции для нечетких подмножеств. Пусть B – множество и М=[0,1] – множество принадлежностей, А и B – два нечетких подмножества из Е.

Равенство. Два нечетких подмножества A и B равны (обозначается A=B) тогда и только тогда, когда

.

Если найдется, по крайней мере, один такой элемент x из E, что равенство не удовлетворяется, то A и B не равны ( ).

Пересечение. Пересечение двух нечетких подмножеств A и B, обозначаемое , определяют как наибольшее нечет­кое подмножество, содержащееся одновременно в A и B.

.

На рис. 4.2 графически представлено пересечение двух нечетких подмножеств.

Объединение. Объединение двух нечетких подмно­жеств A и B, B, определим как наименьшее нечеткое под­множество, которое содержит как A, так и B:

.

На рис. 4.3 графически представ­лено объедине­ние двух нечетких подмно­жеств.

Рис. 4.2. Пересечение двух нечетких подмножеств	Рис. 4.3. Объединение двух нечетких подмножеств

Дополнение.Будем говорить, что A и B – два не­четких подмножества E до­полняют друг друга, если

.

Это обозначается следующим образом:

или .

На рис. 4.4 представлено графически дополнение нечеткого подмножества A.

Дизъюнктивная сумма. Дизъюнктивная сумма двух нечетких подмножеств определяется в терминах объединений и пересечений следующим образом [3]:

.

Рис. 4.4. Дополнение нечеткого подмножества

Пример

Разность двух подмножеств определяется соотношением

.

Используя данные, приведенные в предыдущем примере, получаем

Перемещение. Операция перемещения изменяет значе­ния на величину . При производится перемещение функции вправо, а при – влево.

Соответствующее выражение имеет вид

.

Нормализация.Операция осуществляется в соответст­вии со следующей формулой:

.