Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Дифференціальні рівняння вищого порядку




Читайте также:
  1. Адміністративні правопорушення проти громадського порядку
  2. Використання рівняння Шредінгера до атома водню. Хвильова функція. Квантові числа
  3. Відношення еквівалентності та порядку, їх властивості. Впорядковані множини. Зв'язок відношення еквівалентності з розбиттям множини на класи, що попарно не перетинаються.
  4. Відношення порядку на множині невід’ємних раціональних чисел.
  5. Гармонічні коливання. Диференціальне рівняння гармонічних коливань та його розв’язок. Амплітуда, фаза, частота, період коливань
  6. Десяткові дроби, їх порівняння, операції над ними. Перетворення десяткових дробів у звичайні та звичайних у десяткові.
  7. Диференціальне рівняння вимушених коливань і його розв’язування
  8. Диференціальне рівняння вільних затухаючих коливань і його розв’язування
  9. Диференціальне рівняння вільних згасаючих коливань і його розв’язування

(3)

де порядок рівняння, можна звести до системи типу (1) чи (2) з допомогою таких перетворень:

(4)

Таким чином, розв’язок (3) зводиться до розв’язку системи диференційних рівнянь першого порядку.(4).

Метод Ейлера – простий метод першого порядку. Він реалізується наступною рекурентною формулою:

Yj(i+1) = Yji + hFj(xi, Yji)

де - шаг інтегрування. Метод має похибку пропорційну .

Метод Ейлера- Коші с ітераціями полягає в розрахунку на кожному кроці проміжного значення:

Розв’язок уточнюється ітераційною формулою

Метод має похибку R пропорційну ~ . Число ітерацій не повинно бути більше 4, інакше слід зменьшити шаг .

Модифікований метод Ейлера другого порядку реалізується наступними рекурентними формулами:

Yj(i+1) = Yji + hFj(xi +h/2,Yj(i+1/2))

де Yj(i+1/2) = Yji + hFj(xi, Yji)/2. Метод має похибку R пропорційну ~ (h3), та менший час обчислень.

 

Метод трапецій - один з модифікацій методу Эйлера другого порядку. Він реалізується формулою:

Yj(i+1) = Yji + (Kj1 + Kj2)/2

де Kj1 = hFj(xi, Yji), Kj2 = hFj(xi,+h, Yji + Kj1), дає похибку R ~ .

Не рекомендується використовувати цей метод, коли пошукова функція має різну крутизну.

Метод Рунге-Кута четвертого порядку є найбільш розповсюдженим при постійному . У нього висока точність - похибка R ~ - і менший нахил до розбіжності розв’язку. Алгоритм реалізації методу Рунге-Кута полягає в циклічних обчисленнях на кожному кроці по таким формулам:

K1j = hFj(xi, Yji)

K2j = hFj(xi,+h/2, Yji + K1j /2)

K3j = hFj(xi,+h/2, Yji + K2j /2)

K4j = hFj(xi,+h, Yji + K3j )

Yj(i+1) = Yji + (K1j + 2K2j + 2K3j + K4j)/6

При переході від однієї формули до іншої задаються або обчислюються відповідні значення xi и yi та підпрограмою значення функції .

Перед початком циклу потрібно задати шаг і початкові значення:

Метод Рунге-Кута для диференційного рівняння другого порядку виду

Спочатку потрібно задати шаг і початкові значення: та

Розв’язок одного диференційного рівняння методом Рунге-Кута виконується по вказаним формулам, якщо в них опустити індекс , а з алгоритму видалити цикли. Це різко спрощаує програму і дозволяє отримати мінімально можливий час розрахунку.

яка має похибку ~ , обчислюються наступними формулами:



 


Лекція 18. МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗКУ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ

Методи розв’язку крайових задач розглядаються на прикладі звичайного диференціального рівняння другого порядку

y¢¢ + p(x)y¢ + q(x)y = f(x) (1)

при граничних умовах

a0y(a) + a1y¢ (a) = A, (2)

b0y(b) + b1y¢ (b) = B;

при |a0| + |a1| ¹ 0, |b0| + |b1| ¹ 0, a £ x £ b. (де a0, a1, b0, b1, a, b, A, B – деякі числа).

Методи розв’язку крайових задач можна розділити на три групи: різницеві, проекційні і методи, засновані на заміні розв’язку крайової задачі розв’язком декількох задач Коші (методи «стрільби»).

 


Дата добавления: 2014-12-23; просмотров: 20; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2022 год. (0.01 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты