Метод трапецій

Метод трапецій полягає в лінійній апроксимації f(x) на відрізку [a, b]. Для зменшення похибки відрізок [a, b] розбивається на m частин довжини h = (b-a)/m.

З урахуванням складання суміжних ординат усередині відрізка [a, b] узагальнена формула методу трапецій має вигляд: S @ h(y₀/2 + y₁ + y₂+… y_i … + y_m-1 + y_m/2) –R,

де похибка R = h²(b-a)f^’’(z)/12

Тут f^’’(z) максимальне значення другої похідної підінтегральної функції на відрізку [a, b].

Графічне представлення даного методу можна зобразити на малюнку 3:

y

x

Мал. 3

Слід зазначити, що результат інтегрування по методу трапецій буде ідентичним щодо середнього арифметичного значення інтегрування двома способами методу прямокутників.

1.1.2 Метод Сімпсона (парабол)

Метод Сімпсона (парабол) - окремий випадок методу Ньютона - Котеса при n = 2. При розбивці відрізка [a, b] на m рівних відрізків одержимо формулу Сімпсона:

a

S = ò f(x)dx@ [f(a) + 4 f(a+h) + 2 f(a+2h)+ 4 f(a+3h)+ 4 f(b-h)+ f(b)]h/3 – mh⁵f^iv(z)

b

Вираз для залишкового члена показує, що формула Сімпсона точна, навіть якщо f(x) поліном третьої степені.

Графічне представлення елементарної ділянки інтегрування можна зобразити таким чином (мал.4):

X

Мал. 4