Проекційні методи (на прикладі методу Гальоркіна).

Сутність проекційних методів обчислювальної математики полягає в представленні розв’язку задачі множиною проекцій (відліків) у визначеній системі координатних функцій.

У традиційному методі, запропонованому Б. П. Гальоркіним і розвинутому у роботах М. В. Келдиша, наближений розв’язок у(х) відшукується у вигляді

y_n = a₁u_1(x) + a₂u₂ + _... + a_nu_n(x), (7)

де j_1(x), j_{2, ,,, ,} j_n(x), – система базисних функцій, що задовольняють вихідним граничним умовам; a_1, a_{2, ... ,} a_n – невідомі постійні коефіцієнти.

При підстановці (7) у (1) одержуємо функцію

R(x; a₁; a₂; ... ; a_n) = L[y_n(x)] – f(x),

яку називають нев'язкою розв’язку. Очевидно, для точного розв’язку задачі

R(x; a₁; a₂; ... ; a_n) = 0.

Коефіцієнти а_i визначимо з умови ортогональності нев'язки першим n функціям деякої системи функцій {j_i, i = 0 ... n}:

(8)