ПРОВЕРОЧНЫЙ ТЕСТ 2 страница

163. С поверхности Земли вертикально вверх пущена ракета со скоростью v = 5 км/с. На какую высоту она поднимется?

164. По круговой орбите вокруг Земли обращается спутник с периодом Т = 90 мин. Определить высоту спутника. Ускорение свободного падения g₀ у поверхности Земли и ее радиус считать известными.

165. Какую скорость необходимо сообщить спутнику, чтобы вывести его на круговую орбиту на расстоянии 400 км от поверхности Земли?

166. Спутник обращается вокруг Земли по круговой орбите на высоте h = 520 км. Определить период обращения спутника. Ускорение свободного падения g₀ у поверхности Земли и ее радиус считать известными.

167. Определить линейную и угловую скорости спутника Земли, обращающегося по круговой орбите на высоте h = 1000 км. Ускорение свободного падения g₀ у поверхности Земли и ее радиус считать известными.

168. Во сколько раз средняя плотность земного вещества отличается от средней плотности лунного? Принять радиус Земли R_з в 390 раз больше радиуса Луны R_л и вес тела на Луне в 6 раз меньше веса тела на Земле.

169. Стационарный искусственный спутник движется по окружности в плоскости земного экватора, оставаясь все время над одной и той же точкой земной поверхности. Определить угловую скорость w спутника и радиус R его орбиты.

170. Однородный стержень совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Длина стержня l = 0,5 м. Определить период колебаний стержня и его приведенную длину.

171. Тонкий обруч, повешенный на гвоздь, вбитый горизонтально в стену, колеблется в плоскости, параллельной стене. Радиус R обруча равен 30 см. Вычислить период колебаний Т обруча.

172. Определить частоту гармонических колебаний диска радиусом R = 20 см, около горизонтальной оси, проходящей через середину радиуса диска перпендикулярно его плоскости.

173. Определить момент инерции тонкого стержня длиной 30 см и массой 100 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец.

174. Определить момент инерции тонкого стержня длиной 30 см и массой 100 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку, отстоящую от конца стержня на одну треть его длины.

175. Однородный стержень длиной 0,5 м совершает малые колебания около горизонтальной оси, проходящей на расстоянии 10 см от его верхнего конца. Определить период колебаний стержня.

176. Длина тонкого прямого стержня 60 см, масса – 100 г. Определить момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной к его длине и проходящей через точку стержня, удаленную на 20 см от одного из его концов.

177. Математический маятник длиной l = 1 м установлен в лифте. Лифт поднимается с ускорением a = 2,5 м/с². Определить период T колебаний маятника.

178. Из однородного диска радиусом R сделали физический маятник. Вначале ось проходит через образующую диска, потом – на расстоянии R/2 от центра диска. Определить отношение периодов колебаний.

179. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень массой m с укрепленным в его середине маленьким шариком массой m. Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через конец стержня. Определить период гармонических колебаний Т маятника. Длина l стержня равна 1 м., шарик – материальная точка.

180. Точка совершает гармонические колебания, уравнение которых x = A sin w t, где А = 5 см, w = 2 с^-1. В момент времени, когда точка обладала потенциальной энергией Е = 0,1 мДж, на нее действует возвращающая сила F = 5 мН. Найти этот момент времени.

181. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых: х = сospt см и y = 2 cos (pt/2) см. Определить траекторию точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба.

182. Шарик массой m = 60 г колеблется с периодом Т = 2 с. В начальный момент времени смещение шарика х₀ = 4 см и он обладал энергией Е = 0,02 Дж. Записать уравнение гармонического колебания шарика и закон изменения возвращающей силы с течением времени.

183. Материальная точка массой 10 г совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид х = 0,2 sin 8πt м. Найти возвращающую силу в момент времени t = 0,1 с, а также полную энергию точки.

184. Амплитуда затухающих колебаний маятника за время t = 5 мин уменьшилась в два раза. За какое время t₂, считая от начального момента, амплитуда уменьшится в восемь раз?

185. Складываются два колебания одинакового направления и периода: x₁ = A₁ sin w₁t и x₂ = A₂ sin w₂ (t +t) , где А₁ и А₂ = 3 см, w ₁ = w ₂ = p с^-1, t = 0,5 с. Определить амплитуду А и начальную фазу j₀ результирующего колебания. Написать его уравнение. Построить векторную диаграмму для момента времени t = 0.

186. На гладком горизонтальном столе лежит шар массой М = 200 г, прикрепленный к горизонтально расположенной легкой пружине с жесткостью к = 500 Н/м. В шар попадает пуля массой m = 10 г, летящая со скоростью v = 300 м/с, и застревает в нем. Пренебрегая перемещением шара во время удара и сопротивлением воздуха, определить амплитуду А и период Т колебаний шара.

187. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнения которых: x₁ = A sin w₁t и x₂ = A cos w₂ t, где А₁= 8 см, А₂ = 4 см, w ₁ = w ₂ = 2 с^-1. Написать уравнение траектории и построить ее. Показать направление движения точки.

188. Точка совершает одновременно два колебания, происходящие по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых уравнениями: x = A₁ sin w₁t и y = A₂ cos w₂t, где А₁ = 2 см, w₁ = 1 с^-1, А₂ = 2 см, w₂ = 2 с^-1. Найти уравнение траектории, построить ее с соблюдением масштаба и указать направление движения.

189. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями: x = 2 cos ωt см и y = 3 sin 0,5ωt см. Найти уравнение траектории точки и построить ее.

190. От источника колебаний распространяется волна вдоль прямой линии. Амплитуда А колебаний равна 10 см. Как велико смещение точки, удаленной от источника на l = 3/4 l, в момент, когда от начала колебаний прошло время t = 0,9Т ?

191. Уравнение незатухающих колебаний дано в виде x = 4 sin 600pt см. Найти смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 75 см от источника колебаний через 0,01 с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний 300 м/с.

192. Определить скорость v распространения волн в упругой среде, если разность фаз Dj двух точек, отстоящих друг от друга на D l = 15 см, равна p/2. Частота колебаний n = 25 Гц.

193. Две точки находятся на прямой, вдоль которой распространяются волны со скоростью v = 10 м/с. Период колебаний Т = 0,2 с, расстояние между точками D l = 1 м. Найти разность фаз Dj колебаний в этих точках.

194. Уравнение незатухающих колебаний дано в виде x = sin 2,5pt см. Найти смещение от положения равновесия, скорость и ускорение точки, находящейся на расстоянии 20 м от источника колебаний, для момента t = 1 c после начала колебаний. Скорость распространения колебаний 100 м/с.

195. Найти смещение от положения равновесия точки, отстоящей от источника колебаний на расстоянии l = l/12, для момента t = T/6. Амплитуда колебаний А = 0,05 м.

196. Смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 4 см от источника колебаний, в момент t = T/6 равно половине амплитуды. Найти длину бегущей волны.

197. Какую разность фаз будут иметь колебания двух точек, находящихся на расстоянии 10 и 16 м от источника колебаний? Период колебаний 0,04 с, скорость распространения колебаний 300 м/с .

198. Волна распространяется в упругой среде со скоростью v = 100 м/с. Наименьшее расстояние D l между точками среды, фазы колебаний которых противоположны, равно 1 м. Определить частоту n колебаний.

199. Уравнение незатухающих колебаний дано в виде: x = 10 sin 0,5pt. Найти: уравнение волны, если скорость распространения колебаний 300 м/с; написать уравнение колебаний для точки, отстоящей от источника колебаний на 600 м; написать уравнение колебаний для точек волны в момент t = 4 с от начала колебаний.

5. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Молекулярная физика. Термодинамика

1. Моль – количество вещества (молекул) масса которого в граммах

численно равна массе молекулы m₀ в атомных единицах массы (1 а.е.м. равна 1/12 массы атома углерода ₆С¹²).

2. Количество вещества тела (системы) в молях

ν = N / N_A = m/μ,

где N – число структурных элементов (молекул, атомов, ионов и т.п.), составляющих тело (систему); N_А – постоянная Авогадро (N_А = 6,02∙10²³ моль^-1); μ – масса моля вещества.

3. Количество вещества смеси газов

ν = ν₁ + ν₂ +…+ ν_n = N₁/N_A + N₂/N_A + … + N_n/N_A ,

или

,

где ν_i, N_i, m_i, μ_i – соответственно количество вещества, число молекул, масса, молярная масса i – го компонента смеси.

4. Уравнение Менделеева - Клапейрона (уравнение состояния идеального газа)

,

где m – масса газа, μ –молярная масса газа, R – молярная газовая постоянная, ν – количество вещества, Т – термодинамическая температура.

5. Опытные газовые законы, являющиеся частными случаями уравнения Менделеева – Клапейрона для изопроцессов:

а) закон Бойля-Мариотта (изотермический процесс: Т = const, m = const)

pV = const,

или для двух состояний газа

p₁V₁ = p₂V₂,

б) закон Гей-Люссака (изобарный процесс: р = const, m = const)

,

или для двух состояний

;

в) закон Шарля (изохорный процесс: V = const, m = const)

,

или для двух состояний

;

г) объединенный газовый закон (m = сonst)

,

где p₁, V₁, T₁ – соответственно давление, объем и температура газа в начальном состоянии; p₂, V₂, T₂ – те же величины в конечном состоянии.

6. Закон Дальтона, определяющий давление смеси газов

р = р₁ + р₂ +…+ р_n,

где р_i – парциальные давления компонентов смеси; n – число компонентов смеси.

Парциальным давлением называется давление газа, которое производил бы газ, если бы только он один находился в сосуде, занятом смесью при температуре смеси.

Молярная масса смеси газов

,

где m₁ – масса i –го компонента смеси; ν_i – количество вещества i –го компонента смеси; n – число компонентов смеси.

Массовая доля i-го компонента смеси газа (в долях единицы или процентах)

,

где m – масса смеси.

7. Концентрация молекул

,

где N – число молекул, содержащихся в данной системе, ρ – плотность вещества, V – объем системы. Формула справедлива не только для газов, но и для любого агрегатного состояния вещества.

8. Основное уравнение кинетической теории газов

р = ²/₃n<ε_п>,

где <ε_п> - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

9. Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры

p = nkT.

10. Скорости молекул:

<v_кв> = – средняя квадратичная;

<v> = – средняя арифметическая;

v = – наиболее вероятная,

где m₁ – масса одной молекулы.

11. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы

<ε_п> = ³/₂ kT,

где k – постоянная Больцмана.

Полная средняя кинетическая энергия молекулы

<ε_i> = ,

где i – число степеней свободы молекулы.

12. Внутренняя энергия идеального газа

.

13. Теплоемкость тела .

Удельная теплоемкость .

Молярная теплоемкость .

14. Удельные теплоемкости газа при постоянном объеме (с_v) и постоянном давлении (с_р)

.

Связь между удельной и молярной С теплоемкостями

с = С/μ, С = сμ.

Уравнение Майера

С_р –С_v = R.

15. Работа расширения газа:

в общем случае;

А = р(V₂ – V₁) при изобарном процессе;

при изотермическом процессе.

16. Первое начало термодинамики

Q = ΔU + A,

где Q – теплота, сообщенная системе (газу); ΔU – изменение внутренней энергии системы; А – работа, совершенная системой против внешних сил.

17. Адиабатный процесс – процесс в теплоизолированной системе (ΣQ_i = 0). Уравнения Пуассона, связывающие параметры идеального газа при адиабатном процессе:

pV^γ = const, .

; .

,

где γ = с_р/c_V – показатель адиабаты.

18. Термический КПД цикла

,

где Q₁ – теплота, полученная рабочим телом от теплоисточника; Q₂ –теплота, переданная рабочим телом теплоприемнику.

19. Термический КПД цикла Карно (имеет наибольший КПД)

,

где Т₁ и Т₂ – термодинамические температуры нагревателя и холодильника.

20. Изменение энтропии при переходе из состояния 1 в состояние 2

.

5.1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

№ 1. Определить число N молекул, содержащихся в объ­еме V = 1 мм³и массу т₁ молекулы воды. Считая условно, что молекулы воды имеют вид шариков, соприкасающихся друг с дру­гом, найти диаметр d молекул.

Р е ш е н и е. Число N молекул, содержащихся в некоторой массе
m, равно произведению числа Авогадро N_A на количество вещест­ва ν:

N = ν N_A.

Так как количество молей вещества

ν = m/μ,

где μ - молярная масса, то

.

Выразив в этой формуле массу как произведение плотности на объем V, получим

. (а)

Подставим в формулу (а) следующие значения величин: ρ = I0³ кг/м³ (см. справочную таблицу); V = 1 мм³ = 10^-9 м³, μ = 18 10^-3 кг/моль (см. справочную таблицу); N_A.=6,02 10²³ моль^-1 и произведем вычисления:

молекул = 3,34×10¹⁹ молекул.

Массу одной молекулы можно найти делением молярной массы на число Авогадро:

m₁ = μN_A..

Подставив сюда числовые значения μ и N , найдем массу молекулы воды:

m₁ = кг = 2,99 ×10^-26кг.

Если молекулы воды плотно прилегают друг к другу, то мож­но считать, что на каждую молекулу приходится объем (кубичес­кая ячейка) V₁= d³, где d - диаметр молекулы. Отсюда

. (б)

Объем V₁ найдем, разделив молярный объемV_μ на число молекул в моле, т.е. на число Авогадро N_A:

.

Подставим полученное выражение V₁ в формулу (б)

.

Входящий в эту формулу молярный объем определяется выражением V_μ = μ/ρ. Тогда искомый диаметр молекулы

. (в)

Проверим, дает ли правая часть выражения (в) единицу длины:

Подставим числовые значения физических величин в форму­лу (в) и произведем вычисления:

м = 3,11×10 ^–10 м = 311 нм.

№ 2. В баллоне объемом V = 10 л находится гелий под давлением р₁ = 1 МПа, при температуре Т₁ = 300 К. После того как из баллона было взято т = 10 г гелия, температура в баллоне понизилась до Т₂ = 290 К. Определить давление р₂ гелия, оставшегося в баллоне.

Р е ш е н и е.

Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева - Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа.

, (а)

где т₂ - масса гелия в баллоне в конечном состоянии; μ - мо­лярная масса гелия; R - универсальная газовая постоянная.

Из уравнения (а) выразим искомое давление p₂:

. (б)

Массу гелия т₂ выразим через массу т₁ и массу m гелия, взятого из баллона:

m₂ – m₁ = m. (в)

Массу гелия т₁ найдем также из уравнения Менделеева - Клапейрона, применив его к начальному состоянию:

. (г)

Подставляя в выражение (в) массу т₁ из формулы (г), а затем полученное выражение т₂ в формулу (б), найдем

,

или после преобразования и сокращения

Выразим величины, входящие в эту формулу, в единицах СИ и произведем вычисления: р₁ = I МПа = 10⁶ Па, m = 10 г = 10^-2 кг, μ = 4×10^-3 кг/моль, R = 8,31 Дж/моль К; Т₁ = 300 К, T₂ = 290 К; V = 10^-2 м³.

№ 3.Баллон содержит m₁ = 80 г кислорода и т₂ = 320 г аргона. Давление смеси р = I МПа, температура T = 300 К. Прини­маяданные газы за идеальные, определить объем V баллона.

Р е ш е н и е.

По закону Дальтона, давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси.

По уравнению Менделеева - Клапейрона, парциальные давления кислорода р₁ и аргона р₂ выражаются формулами:

Следовательно, по закону Дальтона давление смеси газов

.

откуда объем баллона

(а)

Выразим в единицах СИ числовые значения величин, входящих в эту формулу: m₁ = 0,08 кг, μ₁ = 32×I0 ^-3 кг/моль, т₂ = 0,32 кг, μ₂ = 40×10^-3 кг/моль, р₁ = I МПа = I0⁶ Па, R.= = 8,31 Дж/моль К.

Подставим числовые значения в формулу (а) и произведем вычисления:

.

№ 4. Найти среднюю кинетическую энергию < ε _вращ> вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре Т = 350 К, а также кинетическую энергию E_к , вращательного движе­ния всех молекул кислорода массой т = 4 г.

Р е ш е н и е.

Известно, что на каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия <ε₁> = ½ kТ , где k - постоянная Больцмана, Т - абсолютная температура газа. Так как вращательному движению двухатомной молекулы (молекула кислорода - двухатомная) соответствуют две степени свободы, то средняя анергия вращательного движения молекулы кислорода выразит­ся формулой

(а)

Подставив в формулу (а) значения k = 1,38 10^-23 Дж/К и Т = = 350 К, получим

<ε_вращ> = 1,38 10^-23∙350Дж = 4,83 10^-21 Дж.

Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа определяется равенством

Е_к = <ε_вращ>N. (б)

Число всех молекулгаза можно вычислить по формуле

N = N_Aν , (в)

где N_A - число Авогадро; μ - количество вещества.

Если учесть, что количество молей вещества ν = m/μ, где т - мас­са газа, μ - молярная масса газа, то формула (в) примет вид

.

Подставив это выражение в формулу (б), получим

( г)

Выразим величины, входящие в эту формулу, в единицах СИ:

N_A= 6,02 10²³ моль^-1, т = 4 г = 4 10^-3 кг, μ = 32 10^-3 кг/моль, <ε_вращ> = 4,83× ×10^-21 Дж. Подставив эти значения в формулу (г),найдем

Е_к = 6,02 10²³ Дж =364 Дж.

№ 5.Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме c_V и при постоянном давлении с_р неона и водорода, при­нимая эти газы за идеальные.

Р е ш е н и е.

Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами:

. (а)

(б)

где i - число степеней свободы молекулы газа; μ - молярная масса.

Для неона (одноатомный газ) i = 3 и μ =20×10^-3 кг/моль (см. справочную таблицу). Вычисляя по формулам (а) и (б), полу­чим:

Для водорода (двухатомный газ) i = 5 и μ = 2×10^-3 кг/моль. Вычисляя по тем же формулам, получим:

1,04×10 ⁴Дж/(кг∙К)

.

№ 6.Вычислить удельные теплоемкости с_V и c_p смеси неона и водорода, если массовая доля неона ω₁ =80%, массовая доля водорода ω₂ = 20 %. Значения удельных теплоемкостей газов взять из предыдущего примера.

Р е ш е н и е.

Удельную теплоемкость смеси при постоянном объеме с_V найдем следующим образом. Теплоту, необходимую для нагревания сме­си на ΔT, выразим двумя способами:

Q = c_V (m₁+m₂) ΔT , (а)

Q = (с_V,1m₁+ c_V,2m₂) ΔT , (б)

где c_V,1 - удельная теплоемкость неона; c_V,2 - удельная теплоем­кость водорода.

Приравняв правые части (а) и (б) и разделив обе части по­лученного равенства на ΔT, получим

c_V(m₁ + m₂) = с_V,1m₁ + c_V,2m₂,

откуда

(в)

или

c_V = c_V,1ω₁ +c_V,2ω_2, (г)

где - - массовые доли неона и водорода в смеси.