![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Задания. Тест 10.1. Интенсивность входящего потока заявок зависит от состояния системы для СМО
Тесты Тест 10.1. Интенсивность входящего потока заявок зависит от состояния системы для СМО 1) с ожиданием 2) с отказами 3) с "нетерпеливыми" заявками 4) замкнутых 5) с ограниченным числом мест в очереди Тест 10.1.Пассивное состояние источника заявок — это такое состояние, при котором поданная им последняя заявка 1) уже обслужена 2) стоит в очереди 3) находится под обслуживанием Тест 10.1. Активное состояние источника заявок — это такое состояние, при котором поданная им последняя заявка 1) уже обслужена 2) стоит в очереди 3) находится под обслуживанием Тест 10.1. В замкнутой одноканальной СМО, состояния системы нумеруют по числу источников, находящихся 1) в активном состоянии 2) в пассивном состоянии 3) в системе Тест 10.1. В замкнутой СМО абсолютная пропускная способность равна произведению вероятности того, что 1) канал занят, на интенсивность потока обслуживании одним каналом 2) заявка будет обслужена, на интенсивность потока обслуживании одним каналом 3) заявка будет обслужена, на интенсивность входящего потока заявок Тест 10.1. Для замкнутой СМО предельные вероятности состояний системы существуют при значениях трафика 1) любых 2) больших единицы 3) меньших единицы Тест 10.1. Интенсивность входящего потока для замкнутой СМО с i источниками, каждый из которых с интенсивностью λ подает заявку на обслуживание в случае, когда k источников находятся в пассивном состоянии, равна 1) λ 2) iλ 3) kλ 4) (i – k)λ
11.Замкнутая многоканальная СМО Рассмотрим теперь более общий, чем в предыдущем разделе, случай замкнутой СМО, состоящей из Пронумеруем состояния системы опять же по числу источников, пребывающих в пассивном состоянии, или что то же, — по числу заявок, находящихся в СМО (как в очереди, так и под обслуживанием): s0 — все i источников находятся в активном состоянии, все п каналов свободны, очереди нет; s1 — один источник находится в пассивном состоянии, один канал занят обслуживанием заявки, поданной этим источником, остальные i—1 источников находятся в активном состоянии, п – 1 каналов свободны, очереди нет; s2 - два источника пребывают в пассивном состоянии, два канала заняты, i—2 источника в активном состоянии, п - 2 канала свободны, очереди нет; sn — все п источников находятся в пассивном состоянии, все п каналов заняты, i— п источников в активном состоянии, очереди нет; sn+i — п+1источников в пассивном состоянии, п каналов -заняты, одна заявка в очереди, i – (n+1) источников в активном состоянии;
Граф состояний рассматриваемой СМО показан на рис. 11.1.
Из состояния Sk -i в состояние sk (k=1, …, i) систему переводит суммарный поток заявок, слагающийся из потоков заявок всех i — (k-1) источников, находящихся в активном состоянии; поэтому
Из состояния sk в состояние sk-1, k = n+1, ..., i, СМО переходит под воздействием суммарного потока обслуживании, слагающегося из п потоков обслуживании на каждом из n занятых каналов (в состоянии sk, k=n+1, ..., i) с интенсивностью μ; следовательно,
Из состояния sк в состояние sк-1, k = 1, ..., п, систему переводит суммарный поток обслуживании, слагающийся из k потоков обслуживании на каждом из k занятых каналов в состоянии sк с интенсивностью μ; стало быть
В системе, как видно из графа состояний на рис. 11.1, протекает процесс гибели и размножения. Для нахождения предельных вероятностей состояний найдем сначала по формуле (3.21) коэффициенты αk, k = 1, ..., i, для чего в (3.21) подставим выражения плотностей вероятностей переходов λk-1, k и λk, k-1, k =1, ..., i, по формулам (11.1) -(11.3): Используя обозначение р = λ/μ, получим: Найденные значения αk, k = 1, ..., i, подставим в формулы (3.19) и (3.20), заменив в последних п на i; в результате получим выражения для вероятностей состояний:
Легко убедиться в том, что формулы (11.4) при п = 1 превращаются в формулы для вероятностей состояний одноканальной замкнутой СМО, выведенные в разделе 10 (см. строки 3 и 4 табл. 10.2). Пусть Nоб — дискретная случайная величина, представляющая собой число заявок, находящихся под обслуживанием, или что то же, число К занятых каналов. Очевидно, что закон распределения этой случайной величины имеет вид:
Поэтому, определяя среднее число Так как А = Интенсивность выходящего потока v = А = Поскольку каждая заявка, поступившая в СМО, будет обслужена, то относительная пропускная способность СМО Q = 1. Рассуждая так же, как и в предыдущем разделе, мы найдем, что
где Так же, как и в разделе 10, можно показать, что средняя интенсивность Подставляя формулу (11.6) в формулу (11.7), получаем
С другой стороны, среднее число
Вычитая из среднего числа Среднее число заявок в очереди Если СМО находится в состоянии sk, k = 0, 1, ..., n, то в очереди нет заявок и, следовательно, NоЧ = 0 с соответствующей вероятностью pk, k = 0, 1, ..., n. Если СМО находится в состоянии sk, k =n+1, ..., i, то в очереди Nоч = k—n заявок с вероятностью рк (k = n+1, ..., i). Таким образом, закон распределения случайной величины Nоч имеет вид:
и потому Нетрудно показать, что правая часть этого равенства совпадает с разностью Таким же образом, как и в разделе 10, можно показать, что коэффициент готовности откуда, применяя нормировочное условие и формулы (11.9), (11.8), (11.6) и (11.7), получаем Формулы, полученные для Можно найти вероятность робтого, что поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию. Рассуждая таким же образом, как и в предыдущем разделе, мы найдем вероятность
где рк (k = 0, 1, ..., i—1) определяются формулами (11.4), а
Событие, состоящее в том, что пришедшая заявка встанет в очередь, является противоположным событию, состоящему в том, что пришедшая заявка тут же будет принята к обслуживанию. Следовательно, вероятность того, что поступившая заявка встанет в очередь, роч можно вычислить по формуле: С другой стороны, пришедшей заявке придется встать в очередь и ожидать начала обслуживания только в том случае, если она пришла в момент, когда СМО находилась в одном из состояний sn, sn+1, ..., si-1 и потому, используя формулы (11.10) и (11.4), получаем другую формулу для вычисления роч: Выведем формулу для среднего времени Для этого рассмотрим случайную величину Заявка, поступившая в СМО при одной из гипотез Hk, k = 0, 1, ..., п—i, т.е. когда система находилась в одном из состояний Sо, S1, ..., Sn-1, в каждом из которых не все каналы заняты, сразу попадает под обслуживание и в очереди не стоит. Поэтому условное математическое ожидание M[Точ|Hk], k = 0, 1, ..., n—1, случайной величины Точ при гипотезе Hk равно нулю: M[Tоч|Hk] = 0, k = 0, 1, ..., n—1. Если заявка приходит в систему при гипотезе Hn, т.е. когда СМО находится в состоянии Sn, в котором все п каналов заняты, то она становится в очередь и ждет освобождения одного из п каналов. Поскольку интенсивность обслуживании каждым каналом равна μ, то суммарный поток обслуживании всех n каналов будет иметь интенсивность пμ. Следовательно, заявке в очереди придется ждать среднее время обслуживания заявки всеми п каналами, равное 1/nμ. Поэтому M[Tоч|Hn+1] = 1/nμ. Заявка, поступившая в систему, при гипотезе Hn+1, т.е. когда СМО находится в состоянии sn+1, в котором все я каналов заняты и одна заявка уже в очереди, становится в очередь и ожидает среднее время, равное 2/nμ, складывающееся из среднего времени 1/nμ обслуживания заявки, находящейся под обслуживанием, и среднего времени 1/nμ обслуживания заявки из очереди. Значит, М[ТОЧ1 Нn+1]=2/nμ . И так далее. Наконец, для заявки, поступившей в систему при гипотезе Hi-1, будем иметь: M[Tоч|Hi-1] = (i-n)/nμ. Следовательно, среднее время Подставив сюда выражения вероятностей
При п = 1 из формулы (11.11) получаем формулу (10.10). Для многоканальных замкнутых систем также имеет место формула (10.11). Действительно, в силу формул (11.4) и (11.7) из формул (11.11) получим: В сумме в правой части этого равенства сделаем замену индекса суммирования k + 1 = j, а затем индекс j заменим на k: откуда, используя (11.4), получим: Отсюда, в силу равенства (11.9) и нормировочного условия, Наконец, по определению среднего числа
Используя формулы (11.6) и (11.7), получаем аналогичную формулу для среднего времени обслуживания заявки:
Среднее время Так же, как и в предыдущем разделе, считаем, что источник в активном состоянии совершает некоторую полезную работу с производительностью l, а в пассивном состоянии он "не работает". Тогда используя формулу (11.8), можем найти среднюю производительность среднего числа источников в активном состоянии А средняя потеря производительности за счет источников, находящихся в пассивном состоянии, составит Выпишем параметры и характеристики СМО в табл. 11.1 и 11.2.
Таблица 11.1
|