Задания. Тест 10.1. Интенсивность входящего потока заявок зависит от состояния системы для СМО

Тесты

Тест 10.1. Интенсивность входящего потока заявок зависит от состояния системы для СМО

1) с ожиданием

2) с отказами

3) с "нетерпеливыми" заявками

4) замкнутых

5) с ограниченным числом мест в очереди

Тест 10.1.Пассивное состояние источника заявок — это та­кое состояние, при котором поданная им послед­няя заявка

1) уже обслужена

2) стоит в очереди

3) находится под обслуживанием

Тест 10.1. Активное состояние источника заявок — это та­кое состояние, при котором поданная им послед­няя заявка

1) уже обслужена

2) стоит в очереди

3) находится под обслуживанием

Тест 10.1. В замкнутой одноканальной СМО, состояния системы нумеруют по числу источников, находя­щихся

1) в активном состоянии

2) в пассивном состоянии

3) в системе

Тест 10.1. В замкнутой СМО абсолютная пропускная способ­ность равна произведению вероятности того, что

1) канал занят, на интенсивность потока обслу­живании одним каналом

2) заявка будет обслужена, на интенсивность по­тока обслуживании одним каналом

3) заявка будет обслужена, на интенсивность входящего потока заявок

Тест 10.1. Для замкнутой СМО предельные вероятности со­стояний системы существуют при значениях тра­фика

1) любых

2) больших единицы

3) меньших единицы

Тест 10.1. Интенсивность входящего потока для замкнутой СМО с i источниками, каждый из которых с интенсивностью λ подает заявку на обслуживание в случае, когда k источников находятся в пассивном состоянии, равна

1) λ

2) iλ

3) kλ

4) (i – k)λ

11.Замкнутая многоканальная СМО

Рассмотрим теперь более общий, чем в предыдущем разде­ле, случай замкнутой СМО, состоящей из каналов об­служивания и источников заявок. Как и в предыдущем разделе, каждый источник может находиться только в одном из двух состояний: активном или пассивном. Все время пребыва­ния поданной источником последней заявки в системе (в оче­реди или под обслуживанием) источник находится в пассивном состоянии, в котором он не может послать следующей заявки. Как только поданная источником заявка будет обслужена, ис­точник сразу же переходит в активное состояние, в котором он может послать следующую заявку. Каждый источник порождает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Каждый канал порождает простейший поток обслуживании с интенсивностью μ. Нетрудно понять, что если бы число источников i не превыша­ло числа каналов п, то это привело бы к существенному простаиванию каналов. Поэтому мы и полагаем i > п.

Пронумеруем состояния системы опять же по числу источ­ников, пребывающих в пассивном состоянии, или что то же, — по числу заявок, находящихся в СМО (как в очереди, так и под обслуживанием):

s₀ — все i источников находятся в активном состоянии, все п каналов свободны, очереди нет;

s₁ — один источник находится в пассивном состоянии, один канал занят обслуживанием заявки, поданной этим ис­точником, остальные i—1 источников находятся в ак­тивном состоянии, п – 1 каналов свободны, очереди нет;

s₂ - два источника пребывают в пассивном состоянии, два канала заняты, i—2 источника в активном состоянии, п - 2 канала свободны, очереди нет;

s_n — все п источников находятся в пассивном состоянии, все п каналов заняты, i— п источников в активном состоя­нии, очереди нет;

s_n+i — п+1источников в пассивном состоянии, п каналов -заняты, одна заявка в очереди, i – (n+1) источников в активном состоянии;

— все i источников в пассивном состоянии, п каналов за­няты, i—n заявок в очереди.

Граф состояний рассматриваемой СМО показан на рис. 11.1.

Из состояния S_k -i в состояние s_k (k=1, …, i) систему пере­водит суммарный поток заявок, слагающийся из потоков зая­вок всех i — (k-1) источников, находящихся в активном со­стоянии; поэтому

(11.1)

Из состояния s_k в состояние s_k-1, k = n+1, ..., i, СМО пере­ходит под воздействием суммарного потока обслуживании, слагающегося из п потоков обслуживании на каждом из n заня­тых каналов (в состоянии s_k, k=n+1, ..., i) с интенсивностью μ; следовательно,

(11.2)

Из состояния s_к в состояние s_к-1, k = 1, ..., п, систему пе­реводит суммарный поток обслуживании, слагающийся из k потоков обслуживании на каждом из k занятых каналов в со­стоянии s_к с интенсивностью μ; стало быть

(11.3)

В системе, как видно из графа состояний на рис. 11.1, про­текает процесс гибели и размножения.

Для нахождения предельных вероятностей состояний най­дем сначала по формуле (3.21) коэффициенты α_k, k = 1, ..., i, для чего в (3.21) подставим выражения плотностей вероятностей переходов λ_{k-1, k} и λ_{k, k-1,} k =1, ..., i, по формулам (11.1) -(11.3):

Используя обозначение р = λ/μ, получим:

Найденные значения α_k, k = 1, ..., i, подставим в формулы (3.19) и (3.20), заменив в последних п на i; в результате получим выражения для вероятностей состояний:

(11.4)

Легко убедиться в том, что формулы (11.4) при п = 1 пре­вращаются в формулы для вероятностей состояний одноканальной замкнутой СМО, выведенные в разделе 10 (см. строки 3 и 4 табл. 10.2).

Пусть N_об — дискретная случайная величина, представляю­щая собой число заявок, находящихся под обслуживанием, или что то же, число К занятых каналов. Очевидно, что закон рас­пределения этой случайной величины имеет вид:

Поэтому, определяя среднее число заявок, находящих­ся под обслуживанием, как математическое ожидание M[N_об] случайной величины , и используя нормировочное условие и формулы (11.4), получим:

Так как — среднее число занятых каналов, а μ- интен­сивность потока обслуживании каждым каналом (среднее число обслуженных каждым каналом заявок за единицу времени), то абсолютная пропускная способность СМО (среднее число зая­вок, обслуживаемых всеми занятыми каналами за единицу вре­мени), выражается следующей формулой

А = μ (11.6)

Интенсивность выходящего потока v = А = μ.

Поскольку каждая заявка, поступившая в СМО, будет обслу­жена, то относительная пропускная способность СМО Q = 1.

Рассуждая так же, как и в предыдущем разделе, мы найдем, что

(11.7)

где — средняя интенсивность среднего суммарного входя­щего потока, порождаемого средним числом i — активных источников, - среднее число заявок, находящихся в сис­теме, т.е. в очереди и под обслуживанием, или, другими слова­ми, среднее число источников, находящихся в пассивном состоянии.

Так же, как и в разделе 10, можно показать, что средняя интенсивность входящего потока есть математическое ожи­дание М[Λ] дискретной случайной величины Λ, принимающей значения Λ^(k) = (i—k)λ, k = 0, 1, ..., i, представляющие собой интенсивности входящего потока, когда СМО находится в со­стоянии s_k:

Подставляя формулу (11.6) в формулу (11.7), получаем

(11.8)

С другой стороны, среднее число = , источников в пассивном состоянии представляет собой математическое ожи­дание М[N_пас] случайной величины N_nac - числа источников в пассивном состоянии:

(11.9)

Вычитая из среднего числа (см. равенство (11.8)) зая­вок, находящихся в СМО, среднее число заявок под об­служиванием, найдем среднее число заявок в очереди:

Среднее число заявок в очереди можно подсчитать и как математическое ожидание M[N_оч] дискретной случайной величины N_оч, представляющей собой число заявок в очереди.

Если СМО находится в состоянии s_k, k = 0, 1, ..., n, то в очереди нет заявок и, следовательно, Nо_Ч = 0 с соответствую­щей вероятностью p_k, k = 0, 1, ..., n.

Если СМО находится в состоянии s_k, k =n+1, ..., i, то в очереди N_оч = k—n заявок с вероятностью р_к (k = n+1, ..., i).

Таким образом, закон распределения случайной величины N_оч имеет вид:

и потому

Нетрудно показать, что правая часть этого равенства совпа­дает с разностью - .В самом деле, по формуле (11.9) и определению имеем:

Таким же образом, как и в разделе 10, можно показать, что коэффициент готовности

откуда, применяя нормировочное условие и формулы (11.9), (11.8), (11.6) и (11.7), получаем

Формулы, полученные для , , , и p_акт, пре­вращаются при n = 1 в соответствующие формулы для одноканальной замкнутой СМО, выведенные в разделе 10.

Можно найти вероятность р_обтого, что поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию. Рассуждая таким же образом, как и в предыдущем разделе, мы найдем вероят­ность (k = 0, 1, ..., i—1) того, что в момент поступления заявки система находилась в состоянии s_k:

(11.10)

где р_к (k = 0, 1, ..., i—1) определяются формулами (11.4), а - формулой (11.8) или (11.9). Поступившая заявка тут же будет принята к обслуживанию, если в момент ее поступления СМО находилась в одном из состояний s₀, s₁, ..., s_n-1, посколь­ку в каждом из них не все п каналов заняты. Поэтому, исполь­зуя формулы (11.10) и (11.4), получаем:

Событие, состоящее в том, что пришедшая заявка встанет в очередь, является противоположным событию, состоящему в том, что пришедшая заявка тут же будет принята к обслужива­нию. Следовательно, вероятность того, что поступившая заявка встанет в очередь, р_оч можно вычислить по формуле:

С другой стороны, пришедшей заявке придется встать в очередь и ожидать начала обслуживания только в том случае, если она пришла в момент, когда СМО находилась в одном из состояний s_n, s_n+1, ..., s_i-1 и потому, используя формулы (11.10) и (11.4), получаем другую формулу для вычисления р_оч:

Выведем формулу для среднего времени ожидания за­явки в очереди.

Для этого рассмотрим случайную величину — время ожидания заявки в очереди и i несовместных гипотез H_k, k = 0, 1, ..., i—1, состоящих (как и в разделе 10) в том, что i момент поступления заявки СМО находилась в состоянии s_k. При условии появления одной из этих гипотез может произой­ти событие Е, заключающееся в том, что на элементарном уча­стке времени (t, t+dt) появилась заявка. Условные вероятности р(H_k|Е) гипотез H_k, k = 0, 1, ..., i—1, при условии, что событие Е уже наступило, равны .

Заявка, поступившая в СМО при одной из гипотез H_k, k = 0, 1, ..., п—i, т.е. когда система находилась в одном из со­стояний Sо, S₁, ..., S_n-1, в каждом из которых не все каналы за­няты, сразу попадает под обслуживание и в очереди не стоит. Поэтому условное математическое ожидание M[Т_оч|H_k], k = 0, 1, ..., n—1, случайной величины Т_оч при гипотезе H_k рав­но нулю: M[T_оч|H_k] = 0, k = 0, 1, ..., n—1.

Если заявка приходит в систему при гипотезе H_n, т.е. когда СМО находится в состоянии S_n, в котором все п каналов заня­ты, то она становится в очередь и ждет освобождения одного из п каналов. Поскольку интенсивность обслуживании каждым каналом равна μ, то суммарный поток обслуживании всех n каналов будет иметь интенсивность пμ. Следовательно, заявке в очереди придется ждать среднее время обслуживания заявки всеми п каналами, равное 1/nμ. Поэтому M[T_оч|H_n+1] = 1/nμ.

Заявка, поступившая в систему, при гипотезе H_n+1, т.е. ко­гда СМО находится в состоянии s_n+1, в котором все я каналов заняты и одна заявка уже в очереди, становится в очередь и ожидает среднее время, равное 2/nμ, складывающееся из сред­него времени 1/nμ обслуживания заявки, находящейся под об­служиванием, и среднего времени 1/nμ обслуживания заявки из очереди. Значит, М[Т_ОЧ1 Н_n+1]=2/nμ .

И так далее.

Наконец, для заявки, поступившей в систему при гипотезе H_i-1, будем иметь:

M[T_оч|H_i-1] = (i-n)/nμ.

Следовательно, среднее время заявки в очереди

Подставив сюда выражения вероятностей по формулам ,(11.10), найдем

(11.11)

При п = 1 из формулы (11.11) получаем формулу (10.10).

Для многоканальных замкнутых систем также имеет место формула (10.11). Действительно, в силу формул (11.4) и (11.7) из формул (11.11) получим:

В сумме в правой части этого равенства сделаем замену ин­декса суммирования k + 1 = j, а затем индекс j заменим на k:

откуда, используя (11.4), получим:

Отсюда, в силу равенства (11.9) и нормировочного условия,

Наконец, по определению среднего числа заявок, находя­щихся под обслуживанием (см. промежуточные выкладки фор­мулы (11.5)), и среднего числа заявок в очереди, получим требуемое соотношение:

(11.12)

Используя формулы (11.6) и (11.7), получаем аналогичную формулу для среднего времени обслуживания заявки:

(11.13)

Среднее время пребывания заявки в системе склады­вается из среднего времени ожидания заявки в очереди и среднего времени обслуживания заявки , поэтому из фор­мул (11.12) и (11.13):

Так же, как и в предыдущем разделе, считаем, что источник в активном состоянии совершает некоторую полезную работу с производительностью l, а в пассивном состоянии он "не рабо­тает". Тогда используя формулу (11.8), можем найти среднюю производительность среднего числа источников в активном состоянии . Она равна

А средняя потеря производительности за счет источников, находящихся в пассивном состоянии, составит

Выпишем параметры и характеристики СМО в табл. 11.1 и 11.2.

Таблица 11.1