Примеры решения задач по теме

“Механика и элементы специальной теории относительности”,

Задача 1 Уравнение движения точки по прямой имеет вид:

x = A+Bt+Ct³, где А = 4 м, В = 2 м/c, С = 0,2 м/с³. Найти: 1) положение точки в моменты времени t = 2 c и t = 5 с; 2) среднюю скорость за время, протекшее между этими моментами; 3) мгновенные скорости в указан­ные моменты времени; 4) среднее ускорение за указанный промежуток вре­мени; 5) мгно­венные ускорения в указанные моменты времени.

Дано:

x = A + Bt + Ct3 A = 4 м B = 2 м/c C = 0,2 м/c3 t1 = 2 c; t2 = 5 c x1, x2 <u>- ? u1, u2 - ? <a> a1, a2 - ?

Решение 1. Чтобы найти координаты точки, надо в уравнение движения подставить значения t1 и t2: x1 = (4+2×2+0,2×23) м = 9,6 м, x2 = (4+2×5+0,2×53) м = 39 м. 2. Средняя скорость , м/с = 9,8 м/с. 3. Мгновенные скорости найдем, продифференцировав по времени уравнение движения: u1=(2+3×0,2×22) м/с = 4,4 м/c; u2=(2+3×0,2×52) м/с = 17 м/с.

4. Среднее ускорение ,

м/c²=4,2 м/с².

5. Мгновенное ускорение получим, если продифференцируем по времени выражение для скорости: a = 2×3×Ct = 6Ct.

a₁=6×0,2×2 м/c²=2,4 м/с²;

a₂=6×0,2×5 м/с²=6 м/с².

Задача 2 Маховик вращается равноускоренно. Найти угол a, ко­то­рый составляет вектор полного ускорения любой точки маховика с радиусом в тот момент, когда маховик совершит первые N=2 оборота.

Дано:

w0 = 0. N = 2 e = const	Решение Разложив вектор точки М на тангенци­аль­ное и нормальное уско­ре­ния, видим, что иско­мый угол определяется соотно­шением tga=at/an. Поскольку в условии дано лишь число оборотов, перейдем к угловым величинам. Применив формулы:
a - ?

a_t = eR, a_n = w²R, где R – радиус маховика,

получим

tga=

так как маховик вращается равноускоренно, найдем связь между величинами e и w;

;

Поскольку w₀=0; j=2pN, то w²=2e×2pN=4pNe.

Подставим это значение в формулу, получим:

a » 2,3 °.

Ответ: a » 2,3 °.

Задача 3 Две гири с массами m₁ =2 кг и m₂ = 1 кг соединены нитью, пе­ре­ки­ну­той через невесомый блок. Найти ускорение a, с которым движутся гири, и силу натяжения нити . Трением в блоке пренебречь.

Дано:

m1 = 2 кг m2 = 1 кг	Решение Воспользуемся для решения задачи основным законом динамики где – равнодействующая всех сил, действующих на тело.
a, FН - ?

На тело1 и тело 2 действуют только две силы – сила тяжести и

сила натяжения нити . Для первого тела имеем:

(1)

для второго тела:

. (2)

Так как сила трения в блоке отсутствует,

.

Ускорения тел а₁ и а₂ равны по модулю и направлены в противоположные стороны

.

Получаем из (1) и (2) систему уравнений.

Выберем ось Х, как показано на рисунке и запишем полученную систему уравнений

в проекциях на ось Х:

Решая эту систему относительно а и F_Н, получаем:

=3,3 м/с²; =13 Н.

Ответ: a= 3,3 м/c² ; F_H = 13,3 Н

Задача 4 К ободу однородного диска радиусом R=0,2 м прило­жена касательная сила F=98,1 Н. При вращении на диск действует момент сил трения

М_ТР=4,9 Н×м. Найти массу m диска, если известно, что диск вращается с угловым ускорением e=100 рад/с².

Дано: R = 0,2 м F = 98,1 Н MТР = 4,3 Н×м e = 100 рад / c2	Решение Воспользуемся основным законом динамики вращательного движения: или в скалярной форме , где - момент сил, приложенных к телу ( MF - момент силы F, Mтр – момент сил трения );
m - ?

- момент инерции диска.

Учитывая, что M_F=F×R, получаем: .

Отсюда

m=3,68 кг.

Ответ: m = 3, 68 кг

Задача 5

Вагон массой 20 т, движущийся равнозамедленно, под действием силы трения в 6 кН через некоторое время останавливается. Начальная скорость вагона равна 54 км/ч. Найти работу сил трения и расстояние, которое вагон пройдет до остановки.

Дано:

m = 20 × 10 3 кг Fтр = 6 × 10 3 Н u = 15 м/c AТР - ? r - ?

Решение По закону сохранения механической энергии изменение полной механической энергии будет определятся работой неконсервативных сил, то есть . Так как механическая энергия вагона равна его кинети­ческой энергии , а в качестве неконсервативной силы выступает сила трения, то

, так как в конце пути скорость вагона равна нулю.

Итак:

По определению для работы, совершаемой постоянной силой трения:

м.

Ответ: r = 375 м