![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Основные действия над матрицами.
1. Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одного и того же порядка называется матрица С того же порядка, все элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Обозначают А+В=С. Если аij и 2. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы на число называется матрица, все элементы которой умножены на это число. 3. Транспонирование матрицы. Если матрица А порядка т х п, то транспонированная матрица имеет порядок п х т и получается заменой строк столбцами. Обозначается Ат. № 11. Примеры. Если Произведение матрицы А на число k Найдем разность матриц Транспонированные для матриц А и В матрицы Ат= Заметим, что единичная матрица Е при транспонировании не меняется.
4. Умножение матрицы на матрицу. Операция умножения матриц является исходным пунктом обширной теории – алгебры матриц, играющей важную роль в различных разделах математики и ее приложениях. Пусть даны матрица А порядка т х р и матрица В порядка р х п. Обозначим аik – элемент матрицы А, i=1,2,…,т; k=1,2,…,р;
Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С порядка т х п, каждый элемент которой
Из этого определения вытекает, что матрицу А можно умножать не на всякую матрицу В: необходимо, чтобы число столбцов матрицы А было равно числу строк матрицы В. В качестве примера рассмотрим
Записана формула умножения матрицы порядка 3х2 на матрицу порядка 2х2. Очевидно, если возможно умножение А×В, то умножение В×А не всегда возможно. Если обе матрицы квадратные одного порядка, то возможны умножения в любом порядке, но и тогда, как правило, Например, если В случае, если одна из матриц – сомножителей является единичной, то А×Е=Е×А=А. Заметим, что в этом случае А – квадратная матрица.
Пример. № 12. Найти произведения А×В и В×А.
5. Обратная матрица Действия над матрицами во многом аналогичны действиям над обычными числами. Среди чисел существует число 1 (единица) такое, что а×1=1×а=а для любого числа а. Среди квадратных матриц роль такой «единицы» выполняет единичная матрица Е: А×Е=Е×А=А для любой квадратной матрицы А. Для каждого числа а, отличного от нуля (а¹0), существует обратное число а-1 такое, что а×а-1=а-1×а=1. Оказывается, что аналогичное свойство справедливо и для матриц, причем роль условия а¹0 играет условие
где через |А| мы обозначаем определитель матрицы А. Матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной, а матрица с определителем, равным нулю, называется вырожденной. Матрица А-1 называется обратной по отношению к матрице А, если
Итак, для всякой невырожденной матрицы существует обратная. Правило отыскания обратной матрицы. Пусть дана невырожденная квадратная матрица А порядка п и аij – элемент ее (i,j=1,2,…,п). По условию определитель матрицы А Итак, если
Для отыскания обратной матрицы необходимо: 1. Вычислить определитель 2. Вычислить алгебраические дополнения Аij для всех элементов аij матрицы А по формуле Аij=(–1)i+j×Мij, где Мij – минор элемента аij. 3. Составить матрицу из алгебраических дополнений Аij. 4. Протранспонировать матрицу из алгебраических дополнений. 5. Полученную после транспонирования матрицу умножить на число Пример. № 13. Найти обратную для матрицы 1) 2) 3) Составим матрицу из алгебраических дополнений 4) и протранспонируем ее:
5) Умножив последнюю матрицу на число Убедимся в том, что обратная матрица найдена правильно: Так как
|