Система n линейных уравнений с n неизвестными

Для исследования и решения системы n линейных уравнений с n неизвестными воспользуемся сведениями об определителях n-го порядка.

Дана система

Решением системы называется любой набор n чисел таких, что если в каждое уравнение системы вместо неизвестных х₁, х₂, х₃, …, х_n подставить эти числа, то все уравнения обратятся в верные равенства (тождества).

Определитель n-го порядка, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.

.

Если определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение. Это решение вычисляется по формулам

.

Здесь - определитель при неизвестном х_i, который получается из определителя системы заменой столбца из коэффициентов при х_i (с номером i) столбцом свободных членов.

Указанные формулы носят название правила Крамера, а систему в этом случае называют крамеровской.

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю. Система, состоящая из однородных уравнений, сама называется однородной. Запишем такую систему:

Понятно, что х₁=х₂=….=х_n=0 – одно из решений однородной системы. Назовем его нулевым решением. Видимо, нулевое решение будет единственным, если определитель системы отличен от нуля. А для того, чтобы однородная система имела ненулевые решения, должно быть =0.

Примеры.

№ 10. Является ли крамеровской система

а) б)

В примере № 6 (б) определитель первой системы был вычислен: Поэтому первая система не является крамеровской, т.е. не может иметь единственное решение.

В примере № 7 был вычислен определитель второй системы. Поскольку он отличен от нуля, система имеет единственное решение. Предлагается найти это решение по формулам Крамера. Для этого придется вычислить еще четыре определителя четвертого порядка. Поэтому практическое значение правила Крамера для достаточно большого n весьма невелико. С практической точки зрения гораздо более удобным является метод Гаусса, который будет рассмотрен в п. 6.