Двойной интеграл

Наделайте побольше таких упаковок и разложите в разные места: по карманам одежды, в сумки-чемоданы-рюкзаки, в аптечку, в ремонтный набор.

Источник: И. Николаева

http://vk.com/vnimanie_vsem

Двойной интеграл

Пусть – замкнутая ограниченная область, а – функция, определенная и ограниченная в области , причем граница области состоит из конечного числа кривых, заданных уравнениями вида и , где и – непрерывные функции. Разобьем область произвольными непрерывными кривыми на частей , с площадями . На каждой части выберем произвольную точку и составим сумму

, (1)

которая называется интегральной суммой для функции в области . Диаметром области называется наибольшее расстояние между граничными точками этой области. Обозначим наибольший из диаметров частичных областей .

Определение. Если интегральная сумма (1) при имеет конечный предел , независящий от способа разбиения области на части и выбора точек , то этот предел называется двойным интегралом функции по области и обозначается

.

В этом случае функция называется интегрируемой в области , – областью интегрирования, – элементом площади. Известно, что непрерывна в области , то существует. А если при этом для любого , где и – крайние слева и справа точки области – любая прямая, параллельная оси , пересекает границу области только в двух точках с ординатами и , где , то двойной интеграл приводится к повторному :

. (2)

Если и – крайние снизу и сверху точки области . а кривые и ограничивают ее слева и справа, то при аналогичных условиях

. (3)

Сменить пределы интегрирования – значит перевести интеграл (2) к интегралу (3) (или наоборот).

Пример 1. Изменить порядок интегрирования и вычислить интеграл

.

Решение. Область , , . Для лучшего рассмотрения изобразим эти области, начертив граничные линии , , , для области и , , , – для .

Зададим область по другому, решив уравнения И относительно переменно :

и ,

при этом , то .

Получим

.