Криволинейный интеграл второго рода

Пусть вдоль дуги кривой определена функция . Разобьем дугу на частей точками и на каждой частичной дуге выберем по точке . Обозначим проекцию частичной дуги на ось и составим сумму вида

. (10)

которая называется интегральной.

Определение. Если интегральная сумма (10) при ( , – длина дуги ) имеет конечный предел I, который не зависит по способа разбиения дуги на части и выбора точек , то он называется криволинейным интегралом второго рода функции вдоль дуги и обозначается

.

Аналогично определяется

.

Сумму называют общим криволинейным интегралом и обозначают

. (11)

Вычисление интеграла (11).

Пусть функции и непрерывны на дуге и кривая задана параметрически уравнениями , , причем и – непрерывные функциипри . Значению соответствует точка , значению – точка и . Тогда справедлива формула

. (12)

В частности, если дуга задана уравнением , , – непрерывна, получаем

. (13)

Пример.

а) ;

по формуле (13);

б) ; , .

Удобнее перейти к параметрическому заданию контура : , , . Используем (12):

.