Замена переменных в двойном интеграле

Предположим, что мы переходим в двойном интеграле

(4)

от переменных и к новым переменным и , при помощи преобразований

, (5)

тогда имеет место

Теорема. Если преобразования (5), переводящие область в область изменения переменных и , являются взаимно однозначными, функции (5) имеют непрерывные частные производные первого порядка и определитель

,

называемый якобианом, отличен от 0, то имеет место формула замены переменных

. (6)

Рассмотрим важный частный случай, когда новыми координатами точек являются их полярные координаты, т.е. формулы преобразований (5) имеют вид

. (7)

В этом случае

и мы, согласно (6), получим

. (8)

Пример 2. Найти массу пластины, ограниченной линией , если ее плотность в каждой точке равна абсциссе этой точки.

Решение.

.

(Использовали рекуррентную формулу , где или , . Например,

.

Если же в подынтегральном выражении или в уравнении, задающем область интегрирования, встречается выражение

,

то можно перейти к обобщенным полярным координатам

. (9)

Тогда

, .

Пример 3. Найти объем тела, ограниченного поверхностями , .

Решение. Проекцию этого тела на плоскость найдем из системы уравнений

,

получим , т.е. эллипс – граница области интегрирования ё . Объем равен . Переходим в обобщенные полярные координаты , , . Тогда

,

т.е. уравнение границы области . Область , в которую переходит область , задается неравенствами , . Эллиптический параболоид перейдет в поверхность . Тогда

.