КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Пределы ф-ции на бесконечностиОни нужны для исследования поведения ф-ции на переферии. Опр. ф-ция f(x) имеет предел число А при x®+¥ если " {xn} которая ®к +¥ соответствующая ей последовательность {f(xn)}®A в этом случае мы пишем lim(x®+¥)f(x)=A. Совершенно аналогично с -¥. Опр. Будем говорить что ф-ция f(x) имеет пределом число А при x®¥ {f(xn)} сходится к А Бесконечные пределы ф-ции Вводятся как удобные соглашения в случае, когда конечные пределы не $-ют. Р-рим на премере: lim(x®o+)(1/x) Очевидно не сущ-ет, т.к. для " {xn}®+о посл-ть {f(xn)}={1/xn}, а числ. посл-ть сводятся к +¥. Поэтому можно записать lim(x®o+)1/x=+¥ что говорит о неограниченных возрастаниях предела ф-ции при приближении к 0. Аналогично с -¥. Более того символы +¥ и -¥ употребляются в качестве предела ф-ции в данной т-ке лишь условно и означают например, что если {xn}®x0 то {f(xn)}®±¥,¥
12. Два замечательных предела 1) lim(x®0)sin/x=1 2) Явл. обобщением известного предела о посл-ти. Справедливо сл. предельное соотношение: lim(n®¥)(1+1/n)^n=e (1) lim(n®0)(1+x)^1/x=e (2) t=1/x => при х®0 t®¥ из предела (2) => lim(x®¥) (1+1/x)^x=e (3) Док-во 1)x®+¥ n x:n=[x] => n£x<n+1 => 1/(n+1)<1/x<1/n Посколько при ув-нии основания и степени у показательной ф-ции, ф-ция возрастает, то можно записать новое неравенство (1/(n+1))^n£(1+1/n)^x£ (1+1/n)^(n+1) (4) Рассмотрим пос-ти стоящие справа и слева. Покажем что их предел число е. Заметим (х®+¥, n®¥) lim(n®¥)(1+1/(n+1))=lim(n®¥)(1+1/(n+1))^n+1-1= lim(n®¥)(1+1/(n+1))^n+1*lim(n®¥)1/(1+1/(n+1))=e lim(n®¥)(1+1/n)^n+1= lim(n®¥)(1+1/n)^n* lim(n®¥)(1+1/n)=e*1=e 2) x®-¥. Сведем эту ситуацию к пред. Случаю путем замены переменной y=-x => y®+¥, при x®-¥. lim(x®-¥)(1+1/x)^x=lim(y®+¥)(1-1/y)^-y= lim(y®+¥)((y-1)/y)^y=lim(y®+¥)(1+1/(y-1))^y=e 3) Пусть x®¥ произвольным образом это означает при любом любом выборе посл-ти xn сходящихся к ®¥ мы должны иметь в силу (3) соотношение lim(x®¥)(1+1/xn)^xn=e (5) Условие 5~3, т.е расшифровка 3 на языке посл-ти. Выделим из посл-ти xn 2 подпосл-ти: {x‘n}®+¥, {x‘‘n}®-¥. Для каждой посл-ти по доказанному в п.1 и п.2 справедливо предельное соотношение 5 если заменить xn®x‘nx‘‘n. По т-ме о связи
13. Б/м ф-ции и их сравнения Опр. Ф-ция a(х) наз-ся б/м если ее предел в этой т-ке равен 0 из этого определения вытекает следующее св-во б/м ф-ций: а) Алгебраическая сумма и произведение б/м ф-ций есть б/м ф-ции. б) Произведение б/м ф-ции на ограниченную ф-цию есть б/м ф-ция, т.е. если a(х)®0 при х®х0, а f(x) определена и ограничена ($ С:½j(х)½£С)=> j(х)a(х)®0 при х®х0 Для того чтобы различать б/м по их скорости стремления к 0 вводят сл. понятие: 1) Если отношение 2-х б/м a(х)/b(х)®0 при х®х0 то говорят что б/м a имеет более высокий порядок малости чем b. 2) Если a(х)/b(х)®A¹0 при х®х0 (A-число), то a(х) и b(х) наз-ся б/м одного порядка. 3) если a(х)/b(х)®1 , то a(х) и b(х) наз-ся эквивалентными б/м (a(х)~b(х)), при х®х0. 4) Если a(х)/b^n(х)®А¹0, то a(х) наз-ся б/м n-ного порядка относительно b(х). Аналогичные определения для случаев: х®х0-, х®х0+, х®-¥, х®+¥ и х®¥.
|