Идея топологического метода расчета надежности систем

Метод основан на использовании математического аппарата марковских процессов (вероятность нахождения системы в каком-либо состоянии в будущем не зависит от прошлых состояний системы).

Обозначим Х как множество состояний системы:

где xi – i-е состояние, I – множество индексов всех возможных состояний системы, n – количество возможных состояний системы.

Разобьем множество Х на два подмножества:

-подмножество работоспособных состояний системы Х_р;

-подмножество неработоспособных состояний системы .

где X_р – подмножество работоспособных состояний системы, I_р – множество индексов работоспособных состояний системы.

где – подмножество неработоспособных состояний системы, J – множество индексов неработоспособных состояний системы.

Нахождение системы в том или ином состоянии обусловливает случайный процесс X(t)перехода системы в пространстве ее состояний. X(t) называют также траекторией системы.

Представим X(t) в виде вероятностного графа состояний G(X, W), где Х – множество вершин графа, соответствующих множеству состояний X; W – множество дуг, соединяющих вершины данного графа; P₁(t), ..., P_i(t), ..., P₆(t) – вероятности нахождения системы в i-м состоянии; d(w_ij) – вес дуги w_ij; a_ij – интенсивность перехода из состояния i в состояние j(рис. 2.6).

Если заданы интенсивности a_ij, то, составляя и решая систему уравнений Колмогорова, можно определить вероятности нахождения системы в i-м состоянии P_i(t), а значит и показатели надежности. Однако составление и решение системы уравнений Колмогорова является трудоемкой операцией, поэтому для решения подобных задач применяют топологический метод.

Основные понятия, применяемые при топологическом методе расчета надежности систем

Топологический метод использует аппарат теории графов применительно к решению задач надежности. Рассмотрим методику решения задач методом, который позволяет непосредственно по графу состояний G(X, W) без составления и решения уравнений Колмогорова вычислять показатели надежности. Для этого введем некоторые определения.

Прямой путь l^ij из вершины х_i в вершину х_j – цепь последовательно соединенных однонаправленных дуг, где каждая вершина имеет входящую и одну выходящую дуги, за исключением начальной и конечной, имеющих по одной дуге

Определение прямых путей на графе

Вес k-го прямого пути из вершины i в вершину j

где

- множество дуг, которые составляют k-ый прямой путь.

Замкнутый контурr – прямой путь, на котором начальная и конечная вершины совпадают (рис. 2.8). Вес замкнутого контура r

где – множество дуг, входящих в замкнутый контур r

Примеры замкнутых контуров

Частным случаем замкнутого контура является петля (рис. 2.9), в которой входящая и выходящие дуги сливаются в одну.

Петля

Вес петли при вершине определяется как отрицательная сумма весов дуг, исходящих из этой петли:

где J_n – множество индексов вершин, которые связаны с i-ой вершиной выходящими из нее дугами.

Соединение графа S – это частичный граф, который образуют только замкнутые контуры. Частичный граф представляет собой все вершины, некоторые дуги и петли исходного графа, которые составляют независимые замкнутые контуры (то есть контуры, не имеющие общих вершин). Один граф может располагать несколькими соединениями (рис. 2.10). При образовании соединений следует помнить, что каждая вершина графа G (X, W) имеет петлю.

Пример образования соединения графа

Вес j-го соединения

где v – число независимых замкнутых контуров, образующих соединение, R(S_j) – множество независимых замкнутых контуров, образующих соединение.

Определитель графа

где S — множество всех возможных соединений графа.