Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Выпуклость графика функций и точки перегиба.




Читайте также:
  1. L – класс линейных функций.
  2. А. Перемещением точки
  3. Алгоритм минимизации функций в классе нормальных форм
  4. Анатомо-морфологическая база высших психических функций
  5. АНДРОНОЦЕНТРИЗМ (греч. andros – мужчина) - взгляд на явления с мужской точки зрения.
  6. Арифметические операции над непрерывными функциями. Композиция непрерывных функций
  7. Архитектура целостного поведенческого акта с точки зрения теории функциональной системы П.К. Анохина.
  8. Асимптоты графика функции.
  9. Б- положение той же самой точки Р характеризуется двумя другими числами, если я стою на прежнем месте, но повернулся в сторону.
  10. Базовым принципом концепции МСС является отделение друг от друга функций переноса и коммутации, функций управления вызовом и функций управления услугами.

Ответ:

Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.

 

у

 

x

 

На рисунке показана иллюстрация приведенного выше определения.

 

Теорема 1. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (выпукла).

 

Доказательство. Пусть х0 Î (a, b). Проведем касательную к кривой в этой точке.

Уравнение кривой: y = f(x);

Уравнение касательной:

Следует доказать, что .

 

По теореме Лагранжа для f(x) – f(x0): , x0 < c < x.

 

 

По теореме Лагранжа для

 

Пусть х > x0 тогда x0 < c1 < c < x. Т.к. x – x0 > 0 и c – x0 > 0, и кроме того по условию

, следовательно, .

 

Пусть x < x0 тогда x < c < c1 < x0 и x – x0 < 0, c – x0 < 0, т.к. по условию то

.

 

Аналогично доказывается, что если f¢¢(x) > 0 на интервале (a, b), то кривая y=f(x) вогнута на интервале (a, b).

 

Теорема доказана.

 

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

 

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

 

Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая производная f¢¢(a) = 0 или f¢¢(a) не существует и при переходе через точку х = а f¢¢(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

 

Доказательство. 1) Пусть f¢¢(x) < 0 при х < a и f¢¢(x) > 0 при x > a. Тогда при

x < a кривая выпукла, а при x > a кривая вогнута, т.е. точка х = а – точка перегиба.

 

2) Пусть f¢¢(x) > 0 при x < b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x > b – выпуклостью вверх. Тогда x = b – точка перегиба.

 

Теорема доказана.

 

29. Достаточное условие выпуклости графика функции и точки её перегиба.



Ответ:

Теорема. Для того, чтобы дважды дифференцируемая в точке x0 функция была выпукла вверх (вниз) в этой точке, необходимо и достаточно, чтобы вторая производная этой функции в x0 была неположительной (неотрицательной).
Доказательство. Пусть функция y = f ( x ) выпукла вниз в точке х0. Разложим функцию в ряд Тейлора в данной точке х0:

.

Следует отметить, что первые два слагаемых ряда Тейлора совпадают с правой частью уравнения касательной, проведённой в графику функции y = f (x) в точке х0:

Y = f ( x0 ) + f '( x0 )·( xx0 ).

Учитывая, что слагаемое o(x - x0)2 в достаточно малой окрестности точки х0 мало, и на знак выражения влияния не оказывает, получим зависимость знака второй производной на направление выпуклости

sign ( f ( x ) − Y) = sign ( f ''( x0 ) ).

Теорема. Для того чтобы дважды дифференцируемая на интервале (а, b) функция, была выпукла вверх (вниз) в нем, необходимо, чтобы во всех точках этого интервала вторая производная функции была ≤ 0 ( ≥ 0).
Доказательство. Пусть функция в произвольной точке х0 Î (a, b) выпукла вниз. Тогда в достаточно малой окрестности точки х0 справедливо неравенство f ( x ) ≥ f ( x0 ) + f ' ( x0 )·( x - x0 ).
Запишем последнее неравенство в виде



f ( x ) − f ( x0 ) − f ' ( x0 )·( x x0 ) ≥ 0.

Применяя формулу Лагранжа к первому и второму слагаемому, получим

[ f ' ( c1 ) − f ' ( x0 ) ]·( xx0 ) ≥ 0.

Применяя ещё раз формулу Лагранжа в квадратной скобке, получим

f '' ( c2 )·( c1x0 )·( xx0 ) ≥ 0,

откуда непосредственно следует f '' ( c2 ) ≥ 0 так как x0 < с2 < c1 < x. Поскольку аргумент х выбран произвольно в достаточно малой окрестности точки х0, то и аргумент для второй производной в этом случае тоже произволен в достаточно малой окрестности точки х0.


Дата добавления: 2015-01-19; просмотров: 25; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.01 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты