![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Теорема Лагранжа и Коши о дифференцируемых функциях.Ответ: Теорема Лагранжа. (Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) французский математик)
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b), то на этом интервале найдется по крайней мере одна точка e a < e < b, такая, что
Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке.
Рассмотренная выше теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа. Отношение
В
А
0 а e b x Если функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы, то на интервале (а, b) существует точка e такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна секущей, соединяющей точки А и В. Таких точек может быть и несколько, но одна существует точно.
Доказательство. Рассмотрим некоторую вспомогательную функцию F(x) = f(x) – yсек АВ Уравнение секущей АВ можно записать в виде:
Функция F(x) удовлетворяет теореме Ролля. Действительно, она непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b). По теореме Ролля существует хотя бы одна точка e, a < e < b, такая что F¢(e) = 0.
Т.к.
Теорема доказана. Определение. Выражение Лагранжаили формулой конечных приращений. В дальнейшем эта формула будет очень часто применяться для доказательства самых разных теорем. Иногда формулу Лагранжа записывают в несколько другом виде:
где 0 < q < 1, Dx = b – a, Dy = f(b) – f(a). Теорема Коши.
( Коши (1789-1857)- французский математик)
Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению производных в точке e.
Для доказательства этой теоремы на первый взгляд очень удобно воспользоваться теоремой Лагранжа. Записать формулу конечных разностей для каждой функции, а затем разделить их друг на друга. Однако, это представление ошибочно, т.к. точка e для каждой из функции в общем случае различна. Конечно, в некоторых частных случаях эта точка интервала может оказаться одинаковой для обеих функций, но это - очень редкое совпадение, а не правило, поэтому не может быть использовано для доказательства теоремы.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
которая на интервале [a, b] удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Легко видеть, что при х = а и х = b F(a) = F(b) = 0. Тогда по теореме Ролля существует такая точка e, a < e < b, такая, что F¢(e) = 0. Т.к.
А т.к.
Теорема доказана.
|