![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Второй замечательный предел (доказательство)Ответ: Докажем, что для любого действительного x имеет место так же равенство
Доказательство. Для любого действительного положительного аргумента можно указать два последовательных натуральных числа, для которых будет выполнено неравенство n < x < n + 1. В том случае имеем n → ∞ ⇒ x → ∞. По свойству для неравенств имеем
Прибавим ко всем частям неравенств единицу
По свойству степеней имеем Так как и
то по теореме о пределе промежуточной функции имеем также и
что и требовалось доказать. Для отрицательного х доказательство аналогично. 14. О-символика. Ответ: Пусть f(x) и g(x) — две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки x0, причем в этой окрестности g не обращается в ноль. Говорят, что:
Иначе говоря, в первом случае отношение | f | / | g | в окрестности точки x0 ограничено сверху, а во втором оно стремится к нулю при Обычно выражение «f является „O“ большим („о“ малым) от g» записывается с помощью равенства f(x) = O(g(x)) (соответственно, f(x) = o(g(x))). Это обозначение очень удобно, но требует некоторой осторожности при использовании (а потому в наиболее элементарных учебниках его могут избегать). Дело в том, что это не равенство в обычном смысле, а несимметричное отношение. В частности, можно писать f(x) = O(g(x)) (или f(x) = o(g(x))), но выражения O(g(x)) = f(x) (или o(g(x)) = f(x)) бессмысленны. Другой пример: при x → 0 верно, что O(x²) = o(x), но неверно, что o(x) = O(x²). Вместо знака равенства методологически правильнее было бы употреблять знаки принадлежности и включения, понимая O( ) и o( ) как обозначения для множеств функций, то есть, используя запись в форме x² + x³ ∈ O(x²) или вместо, соответственно, x² + x³ = O(x²) и Однако на практике такая запись встречается крайне редко, в основном, в простейших случаях.
|