Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Бесконечно малые функции. Арифметические действия с бесконечно малыми (доказательство)




Читайте также:
  1. II.3.3) Сила и пространство действия законов.
  2. V. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДЕЙСТВИЯ ВРЕМЕНИ
  3. VI.2.2.) Требования к личности и действиям опекуна.
  4. VI.3.1. Принципы действия
  5. А) Антихолинэстеразные средства обратимого действия
  6. А) Если на систему оказано воздействие, то она будет действовать таким образом, чтобы уменьшить влияние этого воздействия
  7. А. Оппозиция логичных и нелогичных действий как исходноеотношение социальной системы. Теория действия Парето и теория действия Вебера
  8. Адреномиметические средства прямого действия. Классификация. Механизм действия. Фармакологическая характеристика отдельных препаратов. Применение.
  9. Активные действия
  10. Анализ волевого действия

Ответ:

Пусть a(х), b(х) и g(х) – бесконечно малые функции при х ® а. Будем обозначать эти функции a, b и g соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.

Например, функция f(x) = x10 стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.

 

Определение. Если , то функция a называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция b.

 

Определение. Если , то a и b называются бесконечно малыми одного порядка.

 

Определение. Если то функции a и b называются эквивалентными бесконечно малыми. Записывают a ~ b.

 

Пример. Сравним бесконечно малые при х®0 функции f(x) = x10 и f(x) = x.

т.е. функция f(x) = x10 – бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x) = x.

 

Определение. Бесконечно малая функция a называется бесконечно малой порядка kотносительно бесконечно малой функции b, если предел конечен и отличен от нуля.

 

Однако следует отметить, что не все бесконечно малые функции можно сравнивать между собой. Например, если отношение не имеет предела, то функции несравнимы.

 

Пример. Если , то при х®0 , т.е. функция a - бесконечно малая порядка 2 относительно функции b.

 

Пример. Если , то при х®0 не существует, т.е. функция a и b несравнимы.

 

 

Свойства эквивалентных бесконечно малых.

1) a ~ a,

2) Если a ~ b и b ~ g, то a ~ g,

3) Если a ~ b, то b ~ a,

4) Если a ~ a1 и b ~ b1 и , то и или .

 

Следствие: а) если a ~ a1 и , то и

б) если b ~ b1 и , то

Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов.

 


Дата добавления: 2015-01-19; просмотров: 15; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.011 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты