![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Бесконечно малые функции. Арифметические действия с бесконечно малыми (доказательство)Ответ: Пусть a(х), b(х) и g(х) – бесконечно малые функции при х ® а. Будем обозначать эти функции a, b и g соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю. Например, функция f(x) = x10 стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.
Определение. Если
Определение. Если
Определение. Если
Пример. Сравним бесконечно малые при х®0 функции f(x) = x10 и f(x) = x. т.е. функция f(x) = x10 – бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x) = x.
Определение. Бесконечно малая функция a называется бесконечно малой порядка kотносительно бесконечно малой функции b, если предел
Однако следует отметить, что не все бесконечно малые функции можно сравнивать между собой. Например, если отношение
Пример. Если
Пример. Если
Свойства эквивалентных бесконечно малых. 1) a ~ a, 2) Если a ~ b и b ~ g, то a ~ g, 3) Если a ~ b, то b ~ a, 4) Если a ~ a1 и b ~ b1 и
Следствие: а) если a ~ a1 и б) если b ~ b1 и Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов.
|