Число е (доказательство)

Ответ:

Рассмотрим последовательность {x_n} = .

Если последовательность {x_n} монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел.

По формуле бинома Ньютона:

или, что то же самое

Покажем, что последовательность {x_n} – возрастающая. Действительно, запишем выражение x_n+1 и сравним его с выражением x_n:

Каждое слагаемое в выражении x_n+1 больше соответствующего значения x_n, и, кроме того, у x_n+1 добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность {x_n} возрастающая.

Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: x_n < 3.

Итак, последовательность - монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е.

Из неравенства следует, что е £ 3. Отбрасывая в равенстве для {x_n} все члены, начиная с четвертого, имеем:

переходя к пределу, получаем

Таким образом, число е заключено между числами 2,5 и 3. Если взять большее количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа е.

Можно показать, что число е иррациональное и его значение равно 2,71828…

Аналогично можно показать, что , расширив требования к х до любого действительного числа:

Предположим:

Найдем

Число е является основанием натурального логарифма.

Выше представлен график функции y = lnx.