Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Дифференцируемость. Дифференциал функции.




Читайте также:
  1. Аддитивный метод с дифференциальным травлением
  2. Ангины: 1) определение, этиология и патогенез 2) классификация 3) патологическая анатомия и дифференциальная диагностика различных форм 4) местные осложнения 5) общие осложнения
  3. Артерии, морфофункциональная характеристика. Классификация, развитие, строение, функции. Взаимосвязь структуры артерий и гемодинамических условий. Возрастные изменения.
  4. Асимптоты графика функции.
  5. Белое вещество спинного мозга: строение и функции.
  6. Бесконечно малые функции. Арифметические действия с бесконечно малыми (доказательство)
  7. Биологические мембраны клетки, их строение, состав, функции.
  8. Биологические мембраны клеток, их строение, химический состав и функции.
  9. Бір айнымалы функциялардың дифференциалдық есептеулері
  10. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулердің негізгі түрлері және оларды шығару тәсілдері. Мысал. 1-ші ретті сызықты біртекті диф.

Ответ:

Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х0 называется правое (левое) значение предела отношения при условии, что это отношение существует.

 

 

Если функция f(x) дифференцируема в некоторой точке х = х0, то она имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Во- первых функция может иметь разрыв в точке х0, а во- вторых, даже если функция непрерывна в точке х0, она может быть в ней не дифференцируема.

 

Например: f(x) = ïxï- имеет в точке х = 0 и левую и правую производную, непрерывна в этой точке, однако, не имеет в ней производной.

 

Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х0, то она непрерывна в этой точке.

Понятно, что это условие не является достаточным.

Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:

Тогда можно записать: , где a®0, при Dх®0.

Следовательно: .

Величина aDx- бесконечно малая более высокого порядка, чем f¢(x)Dx, т.е. f¢(x)Dx- главная часть приращения Dу.

 

Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.

Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f¢(x)Dx или

 

dy = f¢(x)dx.

Можно также записать:

Геометрический смысл производной. Таблица производных.

Ответ:

Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

 

 

у

f(x)

 

 

f(x0 +Dx) P

Df

f(x0) M

 

a b Dx

0 x0 x0 + Dx x

 

 

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

 

,

 

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).

 

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

 

Уравнение касательной к кривой:

 

Уравнение нормали к кривой: .

 

Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.



Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.

Производные основных элементарных функций.

1)С¢ = 0; 9)

2)(xm)¢ = mxm-1; 10)

3) 11)

4) 12)

5) 13)

6) 14)

7) 15)

8) 16)

 


Дата добавления: 2015-01-19; просмотров: 8; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.01 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты