Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Понятие неопределенного интеграла, свойства неопределенного интеграла




Определение 1. Пусть функция определена на . Множество всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом для и обозначается (при этом называется подинтегральным выражением):

 

,

 

где — одна из первообразных функции , .

Равенство интегралов

=

 

понимается как равенство множеств первообразных.

Пусть функции , , определены на , а , , — их соответствующие первообразные на . Через будем обозначать дифференциалы соответствующих функций. Тогда

 

  1. ;

 

  1. ;

 

  1. , де ;

 

  1. .

 

Докажем свойство 4:

 

 

Возникает вопрос: каждая ли функция имеет первообразную? Для ответа на этот вопрос рассмотрим пример.

Пример. Проверим, имеет ли первообразную функция . Если первообразная существует, то

1) поскольку для , то первообразная должна бы была иметь вид: ;

2) поскольку для , то первообразная должна бы была иметь вид: , т.е.

.

 

Поскольку непрерывна в точке , то

 

.

 

Но полученная функция не может быть первообразной для функции , потому что является недифференцированной в точке .

Замечание. Из теоремы Дарбу вытекает, что производная не может иметь разрывов первого рода. Таким образом, если на каком-то интервале функция имеет точки разрыва І рода, у нее не существует первообразной (неопределенного интеграла). Но функция может иметь разрывы и одновременно иметь первообразную, то есть непрерывность не является необходимым условием существования первообразной.

Основная теорема интегрального исчисления. Пусть функция определена и непрерывна на . Тогда имеет первообразную на этом интервале.

При вычислении неопределенного интеграла легко проверяется правильность полученного результата с помощью формулы (1.1): производная от найденной первообразной должна совпадать с данной функцией .

3. Метод замены переменной для вычисления неопределенного интеграла

Теорема 2. Пусть функция определена на интервале и имеет тут первообразную , и пусть функция имеет производную везде на области определения и принимает значения в . Тогда функция имеет первообразную . Иначе говоря: Пусть надо вычислить интеграл

 

.

 

Во многих случаях удается в качестве новой переменной выбрать такую функцию , чтобы подинтегральное выражение можно было представить в виде:

 

,

 

где — более удобная для интегрирования функция, чем . Тогда достаточно найти интеграл

,

 

чтобы из него подстановкой получить искомый интеграл:

 

.

 

Доказательство. Проверим, что полученная функция действительно будет первообразной для :

 

,

 

что и требовалось доказать.

Проще всего замена проводится тогда, когда в представленном виде подинтегрального выражения в качестве множителя уже присутствует производная от новой переменной (хотя так бывает далеко не всегда).

 

Пример. .

 

Подинтегральное выражение вместе с содержит в качестве множителя . Это говорит в пользу замены: .

 

.

 


Поделиться:

Дата добавления: 2015-01-29; просмотров: 89; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты