Понятие неопределенного интеграла, свойства неопределенного интеграла

Определение 1. Пусть функция определена на . Множество всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом для и обозначается (при этом называется подинтегральным выражением):

,

где — одна из первообразных функции , .

Равенство интегралов

=

понимается как равенство множеств первообразных.

Пусть функции , , определены на , а , , — их соответствующие первообразные на . Через будем обозначать дифференциалы соответствующих функций. Тогда

1. ;

1. ;

1. , де ;

1. .

Докажем свойство 4:

Возникает вопрос: каждая ли функция имеет первообразную? Для ответа на этот вопрос рассмотрим пример.

Пример. Проверим, имеет ли первообразную функция . Если первообразная существует, то

1) поскольку для , то первообразная должна бы была иметь вид: ;

2) поскольку для , то первообразная должна бы была иметь вид: , т.е.

.

Поскольку непрерывна в точке , то

.

Но полученная функция не может быть первообразной для функции , потому что является недифференцированной в точке .

Замечание. Из теоремы Дарбу вытекает, что производная не может иметь разрывов первого рода. Таким образом, если на каком-то интервале функция имеет точки разрыва І рода, у нее не существует первообразной (неопределенного интеграла). Но функция может иметь разрывы и одновременно иметь первообразную, то есть непрерывность не является необходимым условием существования первообразной.

Основная теорема интегрального исчисления. Пусть функция определена и непрерывна на . Тогда имеет первообразную на этом интервале.

При вычислении неопределенного интеграла легко проверяется правильность полученного результата с помощью формулы (1.1): производная от найденной первообразной должна совпадать с данной функцией .

3. Метод замены переменной для вычисления неопределенного интеграла

Доказательство. Проверим, что полученная функция действительно будет первообразной для :

,

что и требовалось доказать.

Проще всего замена проводится тогда, когда в представленном виде подинтегрального выражения в качестве множителя уже присутствует производная от новой переменной (хотя так бывает далеко не всегда).

Пример. .

Подинтегральное выражение вместе с содержит в качестве множителя . Это говорит в пользу замены: .

.