![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Понятие неопределенного интеграла, свойства неопределенного интегралаОпределение 1. Пусть функция
где Равенство интегралов
понимается как равенство множеств первообразных. Пусть функции
Докажем свойство 4:
Возникает вопрос: каждая ли функция имеет первообразную? Для ответа на этот вопрос рассмотрим пример. Пример. Проверим, имеет ли первообразную 1) поскольку для 2) поскольку для
Поскольку
Но полученная функция не может быть первообразной для функции Замечание. Из теоремы Дарбу вытекает, что производная не может иметь разрывов первого рода. Таким образом, если на каком-то интервале функция имеет точки разрыва І рода, у нее не существует первообразной (неопределенного интеграла). Но функция может иметь разрывы и одновременно иметь первообразную, то есть непрерывность не является необходимым условием существования первообразной. Основная теорема интегрального исчисления. Пусть функция При вычислении неопределенного интеграла легко проверяется правильность полученного результата с помощью формулы (1.1): производная от найденной первообразной 3. Метод замены переменной для вычисления неопределенного интеграла Теорема 2. Пусть функция
Во многих случаях удается в качестве новой переменной выбрать такую функцию
где
чтобы из него подстановкой
Доказательство. Проверим, что полученная функция
что и требовалось доказать. Проще всего замена проводится тогда, когда в представленном виде подинтегрального выражения в качестве множителя уже присутствует производная от новой переменной (хотя так бывает далеко не всегда).
Пример.
Подинтегральное выражение вместе с
|