Устойчивость и точность алгоритмов

Численные алгоритмы – алгоритм Эйлера, Эйлера - Кромера для численного решения ДУ, СДУ. ДУ заменяется его разностным аналогом. В общем случае отклонение от точного решения обусловлено двумя причинами:

1. компьютер не оперирует с вещественными числами бесконечной точности. Арифметические операции с ними приводят к дополнительной погрешности (погрешность округления), которая накапливается по мере роста объема вычислений.

2. погрешности самого алгоритма (погрешность приближения).

Сравним алгоритмы Эйлера и Эйлера – Кромера. Покажем, что второй – более точный. Пусть дана задача Коши для ОДУ первого порядка.

.

Метод Эйлера использует на каждом интервале, на которые разбивают отрезок, формулу Тейлора: .

Разобьем отрезок на n- равных длиной отрезков.

. Значение y’ берем в левыхточках отрезков, y’(x_k) для всех . Тогда . Погрешность приближения или ошибка .

Модификация метода Эйлера – метод Эйлера – Кромера.

, y’ берем в правыхточках отрезков.

Покажем, что погрешность приближения в методе Эйлера – Кромера

:

Т.о. этот алгоритм точнее, т.к. учитывается слагаемое с .

Практически точность решения определяют, уменьшая величину шага до тех пор, пока численное решение не перестанет зависеть от шага при требуемом уровне точности. Величина шага не должна быть очень малой, т.к. в этом случае увеличивается число шагов и возрастает машинное время и погрешность округления.

Устойчивость алгоритмаопределяется соответствием численных результатов истинным, может быть, что при больших значениях «времени» происходит отклонение от истины.

Например, перестают выполняться законы сохранения энергии и т.д.