Падение тел с учетом сопротивления воздуха

Рассмотрим падение тел в воздухе, предполагая что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости либо квадрату скорости движения.

В одномерном случае при направлении вертикальной оси вниз

Выразим константу через предельную скорость падения тела в воздухе, когда уравновешиваются силы сопротивления и сила тяжести и т.е. тело движется равномерно. Тогда

Тогда закон движения тела до момента, когда на тело действует нулевая результирующая сила

Видно, что при достижении предельного значения скорости скобка обращается в 0 и сила равна 0.

Рассмотрим аналогичную ситуацию в случае силы сопротивления, пропорциональной квадрату скорости.

Тогда закон движения тела до момента, когда на тело действует нулевая результирующая сила

Теперь рассмотрим двухмерный случай, когда тело массой , брошено под углом с начальной скоростью к горизонту с ненулевой высоты .

На тело будут действовать сила тяжести и сила сопротивления воздуха .

Запишем систему уравнений движения Ньютона для компонент и :

Предполагая, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости либо квадрату скорости движения.

Можно переписать уравнения для первого и второго случая в следующем виде:

; где

; где ,

Если учесть зависимость силы тяжести от расстояния до цента Земли:

; где

; где ,

Домашнее задание.

1. Описать падение тела, если сила сопротивления пропорциональна скорости и без учета сопротивления воздуха. Сравнить результаты аналитических и приближенных (компьютерных) расчетов.
2. Движение тела, брошенного под углом к горизонту с учетом сопротивления воздуха.
3. Задача о прыжке парашютиста. Филиппов, №88.

Парашютист прыгнул с высоты 1.5 км, а раскрыл парашют на высоте 0.5 км. Сколько времени он падал до раскрытия парашюта? Известно, что предельная скорость падения человека в воздухе нормальной плотности составляет 50 м/с. Изменением плотности с высотой пренебречь. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости.

Ответ: скорость , путь (в метрах) ;

.

• Решить задачу аналитически и численно, используя метод Эйлера, а затем метод Эйлера-Кромера. Сравнить результаты. Построить графики S(t), v(t), a(t).

В методе, использующем алгоритм Эйлера:

В методе, использующем алгоритм Эйлера-Кромера:

Литература

1. Гулд, Тобочник «Компьютерное моделирование в физике», т.1 и 2.
2. Мельников Ю.Б. Математическое моделирование: структура, алгебра моделей, обучение построению математических моделей: Монография. Екатеринбург: Уральское издательство, 2004, 384 с.
3. Куксин А.Ю., Норман Г.Э., Стегайлов В.В. Фазовая диаграмма и спинодальный распад метастабильных состояний Леннард-Джонсовской системы // Теплофизика Высоких Температур. 2007. Т. 45. N. 1. С. 43–55.