Арифметические операции с матрицами

1. Сложение (Addition). Под сложение двух матриц A и B понимается матрица C, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц A и B. (Складывать матрицы можно только одинакового размера).

2. Вычитание (Subtraction). Под вычитание двух матриц A и B понимается матрица C, элементы которой равны разности соответствующих элементов матриц A и B. (Вычитать матрицы можно только одинакового размера).

3. Умножение матрицы на число (Multiplication by number). Под умножением матрицы А на число l понимается матрица С, элементы которой равны элементам матрицы А, умноженным на число l.

4. Умножение матриц (Multiplication). Под умножением матриц A и B понимается матрица C, элементы которой c_ij равны сумме произведений элементов i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы B.

(Умножать матрицы можно тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй).

5. Транспонирование (Transpose). Под транспонирование матрицы A понимается матрица A^T, которая получается из исходной путем замены её строк (столбцов) соответствующими столбцам (строками).

;

6. Обратная матрица (Inverse). Матрица A^-1 называется обратной по отношению к матрице А, если их произведение равно единичной матрице:

AA^-1 = E ; A^-1A = E.

Обратная матрица используется для выполнения операции деления и существует только тогда, когда исходная матрица A является квадратной (m = n) и её определитель не равен нулю.

Определитель матрицы (Determinant) – число, представленное в виде квадратной таблицы, состоящей из n строк и n столбцов, над элементами которой заданы определенные правила действий.

Определитель обозначается буквами D или det, а его элементы, в отличие от матриц, записываются в прямых скобках | |.

Следует отметить, что определитель существует только для квадратной матрицы, а число строк или столбцов в нем называется его порядком.

Определитель второго порядка раскрывается по следующей формуле:

.

Определитель третьего порядка находится следующим образом:

.

Для нахождения определителя n–го порядка используют метод разложения по элементам какой-либо строки i или столбца j:

или

где A_ik и A_kj – алгебраические дополнения элементов a_ik и a_kj.

Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij определителя n-го порядка называется минор этого элемента M_ij, взятый со знаком (-1)^i+j:

.

Минором M_ij элемента a_ij определителя n–го порядка называется определитель (n–1)-го порядка, получаемый из исходного определителя вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит элемент a_ij.

Например,

; ;

; ;

В интегрированной среде разработки Delphi отсутствует предопределенный тип данных для работы с матрицами. Для его создания необходимо разработать пользовательский класс TMatrix, который будет содержать не только значения элементов матрицы, но и все необходимые операции для работы с ними.