Два сигнали u та v називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток, а значить й взаємна енергія, дорівнюють нулю.

Скалярний добуток двох сигналів

. (1.9)

Косинус кута між ними дорівнює

.

Виходячи з визначення скалярного добутку, поняття ортогональності між сигналами можна визначити наступним чином:

Два сигнали u та v називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток, а значить й взаємна енергія, дорівнюють нулю.

На рис. 4 наведені приклади ортогональних сигналів.

Викладки N-мірного лінійного простору мають інтуїтивний характер. По-перше, розглянемо структуру дійсного лінійного простору. Структура лінійного простору підпорядковується таким аксіомам:

1. Будь-який вектор А, що належить множині M, при будь-якому t, набуває лише дійсних значень.

2. Для будь-яких векторів u та v, що належать M, існує сума W=u+v, причому W також належить M (W існує в M). Операція додавання комутативна u+v=v+u і асоціативна u+(v+α)=(u+v)+α.

3. Для будь-якого вектора А,що належить множині M, і будь-якого дійсного числа α існує певний вектор f=αА, який також буде належити множині M.

4. Множина M має окремий нульовий елемент Æ такий, що u+ Æ = u для всіх u, що знаходяться в множині M.

координатний базис

Будь-який вектор N-мірного лінійного простору повністю характеризується своїми проекціями на N-координатних осях Для розкладання векторів зручно користуватись взаємно перпендикулярними осями. Також, у лінійному просторі існує спеціальна підмножина лінійно незалежних векторів, яка створює, так названий, координатний базис, який задає напрямок осей у просторі та має одиничне значення амплітуд.

Орти задовольняють умові ортогональності

, (1.1)

де − орти координат, а i, j − це індекси, що присвоєні координатним осям.

Вираз характеризує запис умови ортогональності, який означає, що скалярний добуток будь-яких двох векторів має дорівнювати 0, а скалярний добуток будь-якого вектора самого на себе має дорівнювати одиниці.

Для кращого розуміння звернемось до звичайного тримірного лінійного простору.

Наприклад, вектор Аутримірному просторі визначається за проекціями а_х, а_у, а_z на осі XYZ (рис. 1.7).

У тримірному просторі орти позначимо , і тоді вектор у три-мірному просторі задається таким чином

.(1.2)

Вектор, що задається у N-мірному лінійному просторі, розкладається на N-складових, і запишеться згідно з виразом (1.2) у вигляді:

(1.3)

де − проекції вектора на координатні осі, напрямок яких задається системою координатних векторів або базисом .

Як і в звичайному, тримірному просторі, у лінійному просторі сигналів можна ввести спеціальну підмножину, що буде відігравати роль координатних осей. Якщо заданий ортономований координатний базис, то будь-який сигнал можна подати точкою в N-мірному функціональному сигнальному просторі. І ця точка буде кінцем вектора, що прямує з початку координат. N-мірний функціональний сигнальний простір сигналів нескінченний. Тобто, він є Гільбертовим простором, оскільки при апроксимації сигналу береться якомога більше його складових, щоб була меншою похибка, тобто, щоб апроксимований сигнал якнайменше відрізнявся від оригіналу. Отже, чим більше проекцій сигналу, тим точніше модель сигналу відтворює оригінал. Необхідно зауважити, що теорія нескінченного простору не може бути вкладена у формальну схему лінійної алгебри, де число базисних векторів завжди має кінець.

Звідси випливає, що розклад сигналу S(t) можна записати у вигляді

,

де C_i − проекції на вісі координат; U_i − ортонормований базис. Причому, кількість базисних векторів необмежено велика (рис.2).

Векторне зображення сигналів дає змогу говорити про те, як один сигнал взаємодіє з іншим, побачити наскільки вони різняться один від одного або подібні, оцінити ймовірність переходу одного сигналу в другий, під дією перешкод, і наскільки добре обраний сигнал апроксимує другий.

МЕТРИКА

Як випливає з рис. 3, метрика показує на скільки один сигнал відрізняється від другого. Тобто визначається відстань між двома сигналами, тобто метрика є мірою сигнального простору.

Метрику можна визначати як від’ємну норму двох сигналів

.

Для фінітних сигналів, що задані на інтервалі часу Т норма та метрика визначаються енергією сигналу.

Поняття “норма” для сигналу дає конкретне значення на скільки один сигнал «більший» за другий, або на скільки вони схожі між собою.

Норма сигнального простору для фінітних сигналів визначається скалярним добутком сигналу самого на себе

.

З двох значень кореня береться додатній. Для комплексного сигналу норма має вигляд

,

де *) − символ комплексно спряженої величини.

Квадрат норми має назву “енергії сигналу”

. (1.4)

− це енергія, що виділяється на резисторі з опором в 1 Ом, якщо на його затискачах існує напруга 1 В.