![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Тема 4. Екстраполяція тренду на основі кривих зростання.3.4.1. Методичні поради до вивчення теми З даної теми передбачається вивчення таких питань: - види кривих зростання; - вибір належної функції для згладжування тренду; - оцінювання параметрів кривих зростання; - прогнозування величини Для самостійного вивчення цієї теми рекомендується література: [1,2]. Вивчення теми надасть студентам можливість ознайомитися із сутністю аналітичного згладжування часових рядів, видами кривих зростання, використанням регресійного аналізу для прогнозування тренду за обраною функцією, практичною реалізацією прогнозних розрахунків із використанням комп’ютерних пакетів програмного забезпечення. Виявити основну тенденцію аналітичним методом – означає надати досліджуваному процесу однаковий розвиток на протязі усього часу спостереження. Тому для цих методів важливо вибрати оптимальну функцію детермінованого тренду Види кривих зростання. Криві зростання описують різні тенденції економічних процесів, наприклад, життєвий цикл товару, процес нагромадження капіталу, маркетингову діяльність фірм тощо. Побудову аналітичної функції для моделювання тенденції (тренду) часового ряду називають аналітичним згладжуванням часового ряду. Економічна практика вже надбала певний досвід і певні типи кривих, які найчастіше використовуються в соціально-економічних дослідженнях. До них належать: поліноміальні, експоненціальні і S-подібні криві зростання. Щоб правильно підібрати найкращу функцію для моделювання і прогнозування економічного явища, необхідно знати особливості кожного виду кривих. Поліноміальні криві зростання можна використовувати для апроксимації (наближення) і прогнозування економічних процесів, у яких майбутній розвиток не залежить від досягнутого рівня. Простішіполіноміальні криві зростання мають вид:
Поліноміальні моделі лінійні за параметрами. Параметри цих моделей (лінійної, квадратичної, поліному третього ступеня) мають такі економічні тлумачення: а1 - лінійний приріст, а2 - швидкість зростання, а3 - характеризує динаміку прискорення зростання. Для поліному першого ступеня характерний постійний приріст. Якщо розрахувати перші різниці ряду за формулою Якщо перші різниці розрахувати для поліному другого ступеня, то вони будуть мати лінійну залежність від часу і ряд із перших різниць Для поліному третього ступеня перші різниці будуть поліномами другого ступеня, другі різниці будуть лінійною функцією часу, а треті різниці, що розраховуються за формулою Звідси можна відзначити наступні властивості поліноміальних кривих зростання: • від поліному високого ступеня можна шляхом розрахунку послідовних різниць (приростів) перейти до поліному нижчого порядку; • значення приростів для поліномів будь-якого порядку є сталими величинами. Експоненціальні криві використовуються для зображення швидко зростаючих або спадаючих економічних процесів. Використання експоненціальних кривих зростання передбачає, що майбутній розвиток залежить від досягнутого рівня, тобто, приріст залежить від значення функції. В економіці використовуються два різновиди експоненціальних кривих: проста експонента і модифікована експонента. Проста експонента Логарифми ординат простої експоненти Модифікована експонента має вид Логарифми перших приростів даної функції лінійно залежать від часу, а якщо узяти відношення двох послідовних приростів, то воно буде сталою величиною: Модифікована експонентаслужить базовою кривою, на основі якої за допомогою певних перетворень отримують криву Гомперця і логістичну криву, які використовуються частіше. Степенева крива. Рівняння степеневої кривої має вигляд Гіперболічна крива 1 типу. Звичайна гіпербола задається рівнянням При Гіперболічна крива II типу.Цей тип гіперболи задається рівнянням При Гіперболічна крива IIІ типу (проста раціональна залежність).Задається рівнянням S-подібна крива. В економіці досить розповсюджені процеси, які спочатку поступово зростають, прискорюються, а потім знов уповільнюють свій розвиток, прагнучи до певної межі. Наприклад, процес введення промислового об’єкта до експлуатації або коли змінюється попит на товари, що мають межу насичення тощо. Для моделювання таких процесів використовуються так звані S-подібні криві зростання, які мають вираз Насправді ця крива має форму S тільки при від’ємному значенні b і за умов, що його абсолютне значення більше а. Якщо крива дійсно має форму S, вона використовується для зображення повного циклу розвитку динамічних процесів. Повний цикл таких процесів починається з повільного зростання, потім наступає фаза бурхливого розвитку і, нарешті, розвиток закінчується періодом насичення (тобто асимптотичного наближення до величини Крива Гомперця має наступний аналітичний вираз В кривій Гомперця виділяються чотири ділянки: на першій - приріст функції незначний, на другій - приріст збільшується, на третій ділянці - приріст майже постійний, на четвертій – відбувається уповільнення темпів приросту і функція необмежено наближається до значення а. В результаті конфігурація кривої нагадує латинську літеру S. Точкою перегину цієї кривої буде На основі кривої Гомперця будується, наприклад, динаміка показників рівня життя; модифікації цієї кривої використовуються у демографії для моделювання показника смертності тощо. Логістична крива, або крива Перла-Ріда - зростаюча функція, найчастіше записується у вигляді Якщо взяти похідну від даної функції, то можна побачити, що швидкість зростання логістичної кривої у будь-який момент часу пропорційна досягнутому рівню функції і різниці між граничним значенням Конфігурація графіка логістичної кривої близька до графіка кривої Гомперця, але на відміну від останнього логістична крива має точку симетрії, яка співпадає із точкою перегину. Точка перегину дорівнює Вибір належної функції для згладжування тренду. Правильно встановити вид кривої, тобто вид аналітичної залежності значення показника від часу – одне з найважчих завдань. Обрана функція тренду повинна задовольняти наступним умовам: бути теоретично обґрунтованою; мати якнайменшу кількість параметрів; параметри функції повинні мати економічне тлумачення; оцінені значення тренду повинні якомога менше відрізнятися від відповідних фактичних спостережень часового ряду. Вибір форми кривої для згладжування в певній мірі залежить від мети згладжування: інтерполяції або екстраполяції. У першому випадку метою є досягнення найбільшої близькості до фактичних рівнів часового ряду. У другому – виявлення основної закономірності розвитку явища, стосовно якої можна припустити, що в майбутньому вона збережеться. Існує кілька способів визначення типу тенденції - найбільш розповсюдженим є якісний аналіз процесу, побудова й візуальний аналіз графіка залежності рівнів ряду від часу, розрахунок певних показників динаміки. Для вибору виду кривої зростання можна застосувати такі аналітичні методи, як метод послідовних різниць, характеристик приросту. Метод послідовних різниць (Тінтнера). Цей метод може бути використаний для визначення порядку (ступеня) апроксимуючого поліному, якщо, по-перше, рівні часового ряду складаються тільки із двох компонент: тренду і випадкової, і по-друге, тренд є досить гладким, щоб його можна було згладити поліномом певного ступеня. Алгоритм застосування методу складається з наступних кроків. 1. Розраховуються різниці (прирости) до d-гo порядку включно:
. . . . . . . . . .
Для апроксимації економічних процесів як-правило розраховують різниці до четвертого порядку. 2. Для вхідного ряду і для кожного різницевого ряду оцінюють дисперсії за наступними формулами: для вхідного ряду - для різницевого ряду d-го порядку (d = 1,2, ...) - де 3. Порівнюються значення кожної наступної дисперсії з попередньою, тобто розраховуються різниці Метод характеристик приросту є універсальним методом попереднього вибору кривих зростання. За цим методом вхідний часовий ряд попередньо згладжується методом простої ковзної середньої. Наприклад, для інтервалу згладжування т=3 згладжені рівні розраховуються за формулою
причому щоб не втратити перший і останній рівні, їх згладжують за формулами
Далі розраховуються перші середні прирости другі середні прирости а також ряд похідних величин: Відповідно до характеру зміни середніх приростів і похідних показників вибирається вид кривої зростання, при цьому використовуються відомості з табл. 3.4.1. Таблиця 3.4.1. Вибір кривої зростання за характером зміни показника.
Необхідно зазначити, що для визначення тренду в економічних часових рядах не слід використовувати поліноми дуже великого порядку, оскільки отримані таким чином функції згладжування будуть відображати випадкові відхилення, а не детерміновану складову, що суперечить поняттю тенденції. На практиці, під час попереднього аналізу часового ряду відбирають, як правило, дві-три криві зростання для подальшого дослідження і побудови моделі тренду часового ряду. Оцінювання параметрів кривих зростанняробиться на основі побудови моделі регресії де
Такий підхід передбачає аналітичний метод згладжування часового ряду. Виходячи із теоретичних міркуванькрива зростання може описуватися будь-якою математичною функцією
то оцінки параметрів В таблиці 3.4.2. наведені криві зростання, які найчастіше спостерігаються в соціально-економічних дослідженнях, їх математичні функції Таблиця 3.4.2 Види кривих зростання
Побудована модель прогнозу повинна супроводжуватися додатковою інформацією про її точність та адекватність. Критерієм вибору найкращої форми тренду є найбільше значення коефіцієнта детермінації Коли регресійний аналіз використовується для даних часових рядів, залишки, як правило, автокорелюють. Для визначення цієї ситуації існує термін серійна кореляція. Дослідження серійної кореляції описане у темі 7. Модель, в якій функція Прогнозування величини Інтервальний прогноз значень змінної будується із врахуванням двох джерел невизначеності: обумовленої відхиленням точок даних спостережень від вибіркової прямої регресії; обумовленої відхиленням вибіркової прямої регресії від регресійної прямої генеральної сукупності. Стандартна похибка прогнозу
де t - порядковий номер спостереження (t = 1, 2, ..., п); Перша складова У випадку прямолінійного тренду інтервал надійності прогнозу дорівнює
де
п - кількість спостережень у часовому ряду (довжина прогнозної бази);
Якщо вибірка велика (
Очевидно, що інтервал надійності прогнозу залежить від стандартної похибки оцінки прогнозованого показника, від часу випередження прогнозу, від довжини прогнозної бази та від обраного рівня значущості. Значення величини
Розглянутий розрахунок інтервалів надійності прогнозів на основі кривих зростання, що спирається на висновки і формули теорії регресійного аналізу, для часових рядів не зовсім правомірний, оскільки динамічні ряди, як вже відмічалось, відрізняються від звичайних статистичних сукупностей. Тому до оцінювання інтервалів надійності для кривих зростання слід підходити з певною обережністю. Якщо припустити, що випадкова змінна
Звідси Динамічним мультиплікатором збурення Методи прогнозування, основані на методах регресії, використовуються для короткострокового та середньострокового прогнозування. Вони не допускають адаптації: з отриманням нових даних процедура побудови прогнозу повинна бути повторена спочатку. Оптимальна довжина періоду випередження визначається окремо для кожного економічного процесу з врахуванням його статистичної нестабільності. Ця довжина, як правило, не перевищує для рядів річних спостережень однієї третини обсягу даних, а для квартальних і місячних рядів - двох років. 3.4.2. Плани семінарських, практичних занять, лабораторних робіт та методичні вказівки до їх виконання Завдання для практичного заняття №4 „Екстраполяція тренду на основі кривих зростання.” (2 год.) За даними, наведеними у додатку 4 зробити прогноз будь-якого економічного показника на наступний рік, використовуючи екстраполяцію тренду на основі кривих зростання. У звіті з проведеної роботи повинні бути відображені наступні питання: 1. Вибір виду кривої зростання. 2. Лінеаризація побудованої моделі та оцінювання її параметрів за МНК. 3. Обґрунтування точності й адекватності обраної моделі прогнозування. 4. Розрахунок точкового та інтервального прогнозів тенденції часового ряду. 3.4.3. Навчальні завдання для самостійної роботи студентів Питання для самоперевірки 1. Які типи кривих найчастіше використовуються в економічних дослідженнях? 2. Як здійснюється попередній вибір кривої зростання? 3. У чому полягає суть аналітичних методів згладжування часових рядів? 4. Як розрахувати точковий прогноз економічного показника за знайденою функцією тренду? 5. Що потрібно зробити для визначення точності прогнозу за методом аналітичного згладжування часового ряду ? 6. Що потрібно зробити для визначення адекватності моделі прогнозування? 7. Як розрахувати інтервальний прогноз у випадку прямолінійного тренду? 8. Як розрахувати інтервальний прогноз у випадку нелінійного тренду? 9. Яке з основних припущень регресійного аналізу найчастіше порушується під час аналізу даних часових рядів? 10. Чому дорівнює похибка прогнозу у випадку стаціонарного процесу похибок моделі?
|