Тема 4. Екстраполяція тренду на основі кривих зростання.

3.4.1. Методичні поради до вивчення теми

З даної теми передбачається вивчення таких питань:

- види кривих зростання;

- вибір належної функції для згладжування тренду;

- оцінювання параметрів кривих зростання;

- прогнозування величини .

Для самостійного вивчення цієї теми рекомендується література: [1,2].

Вивчення теми надасть студентам можливість ознайомитися із сутністю аналітичного згладжування часових рядів, видами кривих зростання, використанням регресійного аналізу для прогнозування тренду за обраною функцією, практичною реалізацією прогнозних розрахунків із використанням комп’ютерних пакетів програмного забезпечення.

Виявити основну тенденцію аналітичним методом – означає надати досліджуваному процесу однаковий розвиток на протязі усього часу спостереження. Тому для цих методів важливо вибрати оптимальну функцію детермінованого тренду (кривої зростання), яка згладжує ряд спостережень . До методів аналітичного згладжування відносять регресійний аналіз разом із методом найменших квадратів та його модифікаціями.

Види кривих зростання. Криві зростання описують різні тенденції економічних процесів, наприклад, життєвий цикл товару, процес нагромадження капіталу, маркетингову діяльність фірм тощо. Побудову аналітичної функції для моделювання тенденції (тренду) часового ряду називають аналітичним згладжуванням часового ряду. Економічна практика вже надбала певний досвід і певні типи кривих, які найчастіше використовуються в соціально-економічних дослідженнях. До них належать: поліноміальні, експо­ненціальні і S-подібні криві зростання. Щоб правильно підібрати найкращу функцію для моделювання і прогнозування економічного явища, необ­хідно знати особливості кожного виду кривих.

Поліноміальні криві зростання можна використовувати для апроксимації (наближення) і прогно­зування економічних процесів, у яких майбутній розвиток не залежить від досягнутого рівня. Простішіполі­номіальні криві зростання мають вид:

(поліном першого ступеня),

(поліном другого ступеня),

(поліном третього ступеня).

Поліноміальні моделі лінійні за параметрами. Параметри цих моделей (лінійної, квадратичної, поліному третього ступеня) мають такі економічні тлумачення: а₁ - лінійний приріст, а₂ - швидкість зростання, а₃ - характеризує динаміку прискорення зростання.

Для поліному першого ступеня характерний постійний приріст. Якщо розрахувати перші різниці ряду за формулою , t = 2, 3, ..., n, то вони будуть постійними вели­чинами і дорівнюватимуть а₁.

Якщо перші різниці розрахувати для поліному другого ступеня, то вони будуть мати лінійну залежність від часу і ряд із перших різниць на графіку буде представлений прямою лінією. Другі різниці для поліному другого ступеня будуть сталими.

Для поліному третього ступеня перші різниці будуть поліномами другого ступеня, другі різниці будуть лінійною функцією часу, а треті різниці, що розраховуються за формулою , будуть сталими величинами.

Звідси можна відзначити наступні властивості поліноміальних кривих зростання:

• від поліному високого ступеня можна шляхом розрахунку по­слідовних різниць (приростів) перейти до полі­ному нижчого порядку;

• значення приростів для поліномів будь-якого порядку є сталими величинами.

Експоненціальні криві використовуються для зображення швидко зростаючих або спадаючих еконо­мічних процесів. Використання експоненціальних кривих зростання передбачає, що майбутній розвиток залежить від досягнутого рів­ня, тобто, приріст залежить від значення функції.

В еко­номіці використовуються два різновиди експоненціальних кривих: проста експонента і модифікована експонента.

Проста експонента , де а і b - додатні числа, при цьому якщо , то функція зростає, якщо - спадає основна форма . Проста експонента може набувати різноманітних еквівалентних форм. Усі вони використовуються на практиці для описання різних економічних процесів, наприклад, форму найчастіше використовують у фінансах, де r означає норму річного відсотка.

Логарифми ординат простої експоненти лінійно залежать від часу, тобто темп зростання постійний для будь-якого моменту часу. Якщо ця крива застосовується для зображення інфляції, то коефіцієнт b буде характеризувати темп інфляції. Можна помітити, що ордината цієї функції змі­нюється з постійним темпом приросту. Якщо узяти відно­шення приросту до самої ординати, то воно буде сталою величиною: .

Модифікована експонента має вид , де сталі величини: , , а константа має назву асимптоти цієї функції, тобто значення функції необмежено наближуються (знизу) до величини . Можуть бути й інші варіанти модифікованої експоненти, але на практиці найчастіше зустрічається розглянута вище функція. Наприклад, якщо на ринку з’являється новий товар, який супроводжується широкою рекламою, то спочатку попит на цей товар буде досить великий і швидкість продажу товару буде значною. З часом продаж буде стабілізуватися і дійде до певного рівня насичення. У таких випадках фаза уповільненого зростання відсутня і найкраще згладжування дасть модифікована експонента.

Логарифми перших приростів даної функ­ції лінійно залежать від часу, а якщо узяти відношення двох послідовних приростів, то воно буде сталою величиною: .

Модифікована експонентаслужить базовою кривою, на основі якої за допомогою певних перетворень отримують криву Гомперця і логістичну криву, які використовуються частіше.

Степенева крива. Рівняння степеневої кривої має вигляд . Степенева крива добре згладжує показники, які з часом монотонно зростають, якщо , або спадають, якщо . Зокрема, при , . Це рівняння задає гіперболу, асимптотами якої є вісі координат, а добуток змінних є сталою величиною ( ). В економіці такій умові задовольняє крива попиту з одиничною еластичністю: відсоток збільшення одиниці часу t на такий самий відсоток зменшує залежну змінну . На практиці степеневі функції використовуються для зображення різноманітних економічних процесів. Найбільш відомою з них є виробнича функція Кобба-Дугласа. Крім того, вони застосовуються для зображення кривих байдужості, а також попиту на товари різних категорій (так звана крива Торнквіста) тощо.

Гіперболічна крива 1 типу. Звичайна гіпербола задається рівнянням . Для цього типу гіперболи при значення зменшується із зростанням t і асимптотично наближується до а. Подібного виду кри­ва може застосовуватися для вирівнювання і прогнозування показника, який з часом спадає до певного відмінного від нуля рівня.

При значення додатне, тільки якщо ;збільшення t приводить в цьому випадку і до збільшення з асимптотичною межею, що дорівнює а. Таким типом гіперболи доцільно зображувати зростаючі про­цеси із насиченням.

Гіперболічна крива II типу.Цей тип гіперболи задається рівнянням

При значення прагнуть до ну­ля при необмеженому збільшенні часу t; при значення прагне до нескінченності, якщо t наближується до a/b. Остання ситуація на практиці мало імовірна.

Гіперболічна крива IIІ типу (проста раціональна залежність).Задається рівнянням . Для цього типу гіперболи незалежно від коефіцієнту b при t=0 =0. Для додатних значень b значення зростає і асимптотично прагне до величини 1/b при необмеженому збільшенні t. При від’ємному b ця крива, як і гіпербола другого типу, стає нестійкою при t = a/b.

S-подібна крива. В економіці досить розповсюджені процеси, які спочатку поступово зростають, прискорюються, а потім знов уповільнюють свій розвиток, прагнучи до певної межі. Наприклад, процес введення промислового об’єкта до експлуатації або коли змінюється попит на товари, що мають межу насичення тощо. Для моделювання таких процесів використовуються так звані S-подібні криві зростання, які мають вираз

Насправді ця крива має форму S тільки при від’єм­ному значенні b і за умов, що його абсолютне значення більше а. Якщо крива дійсно має форму S, вона використовується для зображення повного циклу розвитку динамічних процесів. Повний цикл таких процесів починається з повільного зростання, потім наступає фаза бурхливого розвитку і, нарешті, розвиток закінчується періодом насичення (тобто асимптотичного наближення до величини ). Таке чергування фаз властиве багатьом соціально-економічним процесам. Для S-подібної кривої точкою перегину, в якій швидкість зростання досягає максимального значення, знаходиться через розв’язування рівняння , де - друга похідна кривої f(t) за часом t. Для S-подібної кривої точкою перегину, тобто точкою, в якій зростання коефіцієнту нахилу дотичної змінюється спадом, буде точка . На практиці, однак, для описання таких процесів замість S-подібної кривої використовуються більш гнучкі і адекватні криві: Гомперця і лог­істична.

Крива Гомперця має наступний аналітичний вираз , де с, b - додатні параметри, причому ; параметр а - асимптота функції.

В кривій Гомперця виділяються чотири ділянки: на пер­шій - приріст функції незначний, на другій - при­ріст збільшується, на третій ділянці - приріст майже постійний, на четвертій – відбувається уповільнення темпів приросту і функція необмежено наближається до значе­ння а. В результаті конфігурація кривої нагадує латинську літеру S. Точкою перегину цієї кривої буде зі значенням функції , яке дорівнює , де е = 2,71828. Логарифм даної функції ( ) є модифікованою експонентою; логарифм відношення першого приросту до самої ор­динати функції - лінійною функцією часу.

На основі кривої Гомперця будується, наприклад, динаміка показників рівня життя; модифікації цієї кривої використовуються у демографії для моделювання показника смертності тощо.

Логістична крива, або крива Перла-Ріда - з­ростаюча функція, найчастіше записується у вигляді . У цьому виразі і - додатні параметри; - граничне значення функції за нескінченно зрос­таючим часом.

Якщо взяти похідну від даної функції, то можна побачити, що швидкість зростання логістичної кривої у будь-який момент часу пропорційна досягнутому рівн­ю функції і різниці між граничним значенням і досягнутим рівнем. Логарифм відношення першого при­росту функції до квадрату її значення (ординати) є лінійною функцією від часу.

Конфігурація графіка логістичної кривої близька до графіка кривої Гомперця, але на відміну від останнього логістична крива має точку симетрії, яка співпадає із точкою перегину. Точка перегину дорівнює . Значення у точці перегину дорівнює .

Вибір належної функції для згладжування тренду. Правильно встановити вид кривої, тобто вид аналітичної залежності значення показника від часу – одне з найважчих завдань. Обрана функція тренду повинна задовольняти наступним умовам: бути теоретично обґрунтованою; мати якнайменшу кількість параметрів; параметри функції повинні мати економічне тлумачення; оцінені значення тренду повинні якомога менше відрізнятися від відповідних фактичних спостережень часового ряду.

Вибір форми кривої для згладжування в певній мірі залежить від мети згладжування: інтерполяції або екстраполяції. У першому випадку метою є досягнення найбільшої близькості до фактичних рівнів часового ряду. У другому – виявлення основної закономірності розвитку явища, стосовно якої можна припустити, що в майбутньому вона збережеться.

Існує кілька способів визначення типу тенденції - найбільш розповсюдженим є якісний аналіз процесу, побудова й візуальний аналіз графіка залежності рівнів ряду від часу, розрахунок певних показників динаміки. Для вибору виду кривої зростання можна застосувати такі аналітичні методи, як метод послідовних різниць, характеристик при­росту.

Метод послідовних різниць (Тінтнера). Цей метод може бути використаний для визначення порядку (ступеня) апроксимуючого поліному, якщо, по-перше, рівні часового ряду складаються тільки із двох компонент: тренду і випадкової, і по-друге, тренд є досить гладким, щоб його можна було згладити поліномом певного ступеня. Алгоритм застосування методу складається з наступних кроків.

1. Розраховуються різниці (прирости) до d-гo порядку включно:

;

;

. . . . . . . . . .

.

Для апроксимації економічних процесів як-правило розраховують різниці до четвертого порядку.

2. Для вхідного ряду і для кожного різницевого ря­ду оцінюють дисперсії за наступними формулами:

для вхідного ряду - ;

для різницевого ряду d-го порядку (d = 1,2, ...) - ,

де - біноміальний коефіцієнт.

3. Порівнюються значення кожної наступної дисперсії з попередньою, тобто розраховуються різниці , і якщо ця величина не перевищує певної наперед заданої додатної величини, то порядок величин дисперсій однаковий і ступінь апроксимуючого поліному дорівнює d - 1.

Метод характеристик при­росту є універсальним методом попереднього вибору кривих зростання. За цим методом вхідний часовий ряд попередньо згладжується методом простої ковзної середньої. Наприклад, для інтервалу згладжування т=3 згладжені рівні розраховуються за формулою

,

причому щоб не втратити перший і останній рівні, їх згладжують за формулами

, .

Далі розраховуються перші середні прирости , t=2,3,…l, n-1;

другі середні прирости ,

а також ряд похідних величин: ; ; ; .

Відповідно до характеру зміни середніх при­ростів і похідних показників вибирається вид кривої зростання, при цьому використовуються відомості з табл. 3.4.1.

Таблиця 3.4.1.

Вибір кривої зростання за характером зміни показника.

Показник	Характер зміни показника з часом	Видкривої зростання
Перший середній приріст	Майже однаковий	Поліном першого порядку (пряма)
Другий середній приріст	Змінюється лінійно   Змінюється лінійно	Поліном другого порядку (парабола) Поліном третього порядку (кубічна парабола)
	Майже однаковий	Проста експонента
	Змінюється лінійно	Модифікована експонента
	Змінюється лінійно	Крива Гомпертця
	Змінюється лінійно	Логістична крива

Необхідно зазначити, що для визначення тренду в економічних часових рядах не слід використовувати поліноми дуже великого порядку, оскільки отримані таким чином функції згладжування будуть відображати випадкові відхилення, а не детерміновану складову, що суперечить поняттю тенденції. На практиці, під час попереднього аналізу часового ряду відбирають, як правило, дві-три криві зростання для подальшого дослідження і побудови моделі тренду часового ряду.

Оцінювання параметрів кривих зростанняробиться на основі побудови моделі регресії

де - функція тренду (крива зростання);

- невідомі випадкові похибки.

Такий підхід передбачає аналітичний метод згладжування часового ряду. Виходячи із теоретичних міркуванькрива зростання може описуватися будь-якою математичною функцією . Оцінка цієї функціональної залежності здійснюється за вибірковими спостереженнями рівня часового ряду (залежна змінна) та часом t (незалежна змінна), авибір методу оцінювання залежить від виду кривої і стохастичного походження випадкових похибок . Якщо функція лінійна за параметрами, наприклад, має вид алгебраїчного поліному ступеня p: , і при цьому довжина часового ряду суттєво перевищує ступінь поліному , а випадкові величини мають властивості “білого шуму”, тобто

,

то оцінки параметрів можна одержати методом найменших квадратів (МНК).

В таблиці 3.4.2. наведені криві зростання, які найчастіше спостерігаються в соціально-економічних дослідженнях, їх математичні функції та перетворення, необхідні для зведення функцій до лінійного вигляду.

Таблиця 3.4.2

Види кривих зростання

Основні види кривих зростання	Математична функція	Лінеаризація функції
Лінійна (поліном першого ступеня)		Не потрібна
Квадратична (поліном другого ступеня)
Поліном третього ступеня
Експонента (проста)
Логарифмічна крива
S-подібна крива
Обернена логарифмічна крива		,
Степенева
Гіперболічна крива І типу
Гіперболічна крива ІІ типу		,
Гіперболічна крива ІІІ типу		, ,
Модифікована експонента		; ; .
Крива Гомпертця
Логістична крива	=	,

Побудована модель прогнозу повинна супроводжуватися додатковою інформацією про її точність та адекватність. Критерієм вибору найкращої форми тренду є найбільше значення коефіцієнта детермінації .

Коли регресійний аналіз використовується для даних часових рядів, залишки, як правило, автокорелюють. Для визначення цієї ситуації існує термін серійна кореляція. Дослідження серійної кореляції описане у темі 7.

Модель, в якій функція є нелінійною за параметрами, потребує техніки статистичного аналізу нелінійних моделей регресії.

Прогнозування величини .Для розрахунку в момент часу прогнозної оцінки на період випередження , потрібно розрахувати значення знайденої функції регресії (рівняння тренду) для моменту часу . Такий прогноз називається точковим прогнозом величини змінної .

Інтервальний прогноз значень змінної будується із врахуванням двох джерел невизначеності: обумовленої відхиленням точок даних спостережень від вибіркової прямої регресії; обумовленої відхиленням вибіркової прямої регресії від регресійної прямої генеральної сукупності.

Стандартна похибка прогнозу дає міру варіації передбаченого значення біля справжньої величини для заданого значення . Стандартна похибка прогнозу дорівнює

= ,

де t - порядковий номер спостереження (t = 1, 2, ..., п); - час, для якого робиться прогноз; - час, що відповідає середині вибірки; підсумок робиться за усіма спостереженнями.

Перша складова під першим радикалом дає міру відхилення точок даних спостережень від вибіркової прямої регресії (перше джерело невизначеності). Друга складова вимірює відхилення вибіркової прямої регресії від регресійної прямої генеральної сукупності (друге джерело невизначеності).

У випадку прямолінійного тренду інтервал надійності прогнозу дорівнює

,

де - період випередження;

- точковий прогноз на момент часу ;

п - кількість спостережень у часовому ряду (довжина прогнозної бази);

- стандартна похибка (середньоквадратичне відхилення) оцінки , = ;

- табличне значення критерію Стьюдента для рівня значущості α і числа ступенів волі .

Якщо вибірка велика ( ), квантиль розподілу Стьюдента можна замінити відповідним квантилем стандартного нормального розподілу. Наприклад, для великої вибірки 95%-вий інтервал прогнозу задається наступним значенням

.

Очевидно, що інтервал надійності прогнозу залежить від стандартної похибки оцінки прогнозованого показника, від часу випередження прогнозу, від довжини прогнозної бази та від обраного рівня значущості. Значення величини для оцінки інтервалу надійності прогнозу відносно лінійного тренду табульовані. Фрагмент такої таблиці для рівня значущості α = 0,20 показаний нижче.

Кількість рівнів		Період випередження
часового ряду (n)
	1,932	2,106	2,300	2,510	2,733	2,965
	1,692	1,774	1.865	1,964	2,069	2,180
	1,681	1,629	1,682	1,738	1,799	1,863

Розглянутий розрахунок інтервалів надійності прогнозів на основі кривих зростання, що спирається на висновки і формули теорії регресійного аналізу, для часових рядів не зовсім правомірний, оскільки динамічні ряди, як вже відмічалось, відрізняються від звичайних стати­стичних сукупностей. Тому до оцінювання інтервалів надійності для кривих зростання слід підходити з певною обережністю. Якщо припустити, що випадкова змінна ( ) є стаціонарним часовим рядом, то похибка прогнозу становитиме

.

Звідси .

Динамічним мультиплікатором збурення є величина , яка показує, на скільки зміниться значення часового ряду через періодів в залежності від поточного збурення. Очевидно, що вплив збурення буде спадати із часом, тому .

Методи прогнозування, основані на методах регресії, використовуються для короткострокового та середньострокового прогнозування. Вони не допускають адаптації: з отриманням нових даних процедура побудови прогнозу повинна бути повторена спочатку. Оптимальна довжина періоду випередження визначається окремо для кожного економічного процесу з врахуванням його статисти­чної нестабільності. Ця довжина, як правило, не перевищує для рядів річних спостережень однієї третини обсягу даних, а для квартальних і місячних рядів - двох років.

3.4.2. Плани семінарських, практичних занять, лабораторних робіт та методичні вказівки до їх виконання

Завдання для практичного заняття №4 „Екстраполяція тренду на основі кривих зростання.” (2 год.)

За даними, наведеними у додатку 4 зробити прогноз будь-якого економічного показника на наступний рік, використовуючи екстраполяцію тренду на основі кривих зростання. У звіті з проведеної роботи повинні бути відображені наступні питання:

1. Вибір виду кривої зростання.

2. Лінеаризація побудованої моделі та оцінювання її параметрів за МНК.

3. Обґрунтування точності й адекватності обраної моделі прогнозування.

4. Розрахунок точкового та інтервального прогнозів тенденції часового ряду.

3.4.3. Навчальні завдання для самостійної роботи студентів

Питання для самоперевірки

1. Які типи кривих найчастіше використовуються в економічних дослідженнях?

2. Як здійснюється попередній вибір кривої зростання?

3. У чому полягає суть аналітичних методів згладжування часових рядів?

4. Як розрахувати точковий прогноз економічного показника за знайденою функцією тренду?

5. Що потрібно зробити для визначення точності прогнозу за методом аналітичного згладжування часового ряду ?

6. Що потрібно зробити для визначення адекватності моделі прогнозування?

7. Як розрахувати інтервальний прогноз у випадку прямолінійного тренду?

8. Як розрахувати інтервальний прогноз у випадку нелінійного тренду?

9. Яке з основних припущень регресійного аналізу найчастіше порушується під час аналізу даних часових рядів?

10. Чому дорівнює похибка прогнозу у випадку стаціонарного процесу похибок моделі?