Умовна ймовірність та її властивість

Залежні та незалежні випадкові події

Випадкові події А і В називають залежними, якщо поява однієї з них (А або В) впливає на ймовірність появи іншої.

У противному разі випадкові події А і В називаються неза-
лежними.

Приклад 1. В урні міститься 10 однакових кульок, із них
6 чорних і 4 білих. З урни навмання беруть дві кульки по одній без повернення. З’ясувати, чи будуть залежними такі події: перша кулька виявиться чорною і друга також.

Розв’язання. Позначимо через А появу чорної кульки при першому вийманні, а через В — при другому. Випадкові події А і В будуть залежними, оскільки поява чорної кульки при першому її вийманні з урни (випадкова подія А) впливатиме на ймовірність появи чорної кульки (випадкова подія В) при другому вийманні.

Приклад 2. З урни, де шість білих і чотири чорні кульки, вийняли дві кульки по одній, при цьому перша кулька в урну повертається.

З’ясувати, чи будуть залежними такі події: перша виявиться чорною, друга також.

Розв’язання. Нехай А — поява чорної кульки при першому вийманні, а В — при другому. Поява чорної кульки при першому вийманні (здійснилась подія А) не впливатиме на ймовірність поя-
ви чорної кульки (подія В) при другому вийманні, оскільки співвідношення між чорними та білими кульками в цьому разі не змінюється.

Умовна ймовірність та її властивість

Якщо ймовірність випадкової події А обчислюється за умови, що подія В відбулася, то така ймовірність називається умовною. Ця ймовірність обчислюється за формулою

, . (17)

Аналогічно

, . (18)

1. Р (А / В) = 0, якщо А∩В = Æ.

2. Р (А / В) = 1, якщо А∩В = В.

3. У решті випадків 0 < Р(А / В) < 1.

Приклад 1. Задана множина цілих чисел. Ώ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Навмання беруть одне число. Яка ймовірність того, що це число виявиться кратним 3, коли відомо, що воно є непарним?

Розв’язання. Нехай подія А — поява числа кратного 3, В — кратного 2.

Тоді А = (3, 6, 9, 12), m₁ = 4;

В = (2, 4, 6, 8, 10, 12), m₂ = 6;

А∩В = (6, 12), m₃= 2;

; ; ;
Р (А / В) = .

Оскільки , то події А і В є залежними.

Умовну ймовірність Р (А / В) для цієї задачі можна обчислити й інакше. За умовою задачі відомо, що взяте навмання число, є непарним, тобто в цьому разі ми дістали додаткову інформацію: із множини Ώ беруться лише непарні числа. Отже, простір елементарних подій тепер має вигляд

, .

Елементарні події, що сприяють появі А, — появі числа, кратного 3, утворюють множину , .

Отже,

.

Приклад 2. Відомі значення:

;

З’ясувати, чи є залежними випадкові події А і В.